第三节 微积分基本公式 一、引例 二、概念和公式的引出 三、基本积分表 四、微积分基本公式 五、案例
一、引例 数学中有许多运算都是互逆的，如加法与减法、乘法与除法、乘方与 开方、指数运算与对数运算等．我们知道，如果已知 则 是 的导函数，反过来，函数 称为 的什么函数呢？又如何求 呢？
二、概念和公式的引出 原函数 如果在开区间 内，可导函数 的导函数为 ，即当 时： 或 则称函数 是函数 在区间 内的一个原函数． 如在 如果在开区间 内，可导函数 的导函数为 ，即当 时： 或 则称函数 是函数 在区间 内的一个原函数． 如在 内， 故 是 的一个原函数；在 内， 故路程函数 是速度函数 的一个原函数． 由不定积分的定义，函数的不定积分与导数（或微分）之间有如下的
不定积分 运算关系： 或 或 若 是函数 在开区间 内的一个原函数，则 的所有原函数的表达式 为任意常数， 称为 在 该区间 若 是函数 在开区间 内的一个原函数，则 的所有原函数的表达式 为任意常数， 称为 在 该区间 内的不定积分，记作 即： 称为积分常数，其它符号的名称与定积分中的名称一致．
三、基本积分表 一、引例[幂函数的不定积分] 因为 所以 是 的一个原函数，于是 公式类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之相对应 一、引例[幂函数的不定积分] 因为 所以 是 的一个原函数，于是 公式类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之相对应 的不定积分公式．
二、概念和公式的引出 1.基本积分表 (2) (1) 为常数） ( (4) (3) (6) (5) (7) (8) (10) (9) (12) (11) (13)
即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差）． 2、不定积分的性质 (1) 性质1 即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数的不定积分的和（差）． 性质１可推广到有限个函数的情形． (1) 性质2 为常数 即被积函数中不为０的常数因子可以提到积分号外．
（分钟．一方面，由第一节变速直线运动路程的计算，有: 四、微积分的基本公式 引例 [列车何时制动] 列车快进站时必须减速．若列车减速 后的速度为 (公里/分)，问列车应该在离站台多远的 地方开始减速？ 解 当列车速度为 时停下，解出 （分钟．一方面，由第一节变速直线运动路程的计算，有: 另一方面，由速度与路程的关系 知路程 满足:
，且 因此，求 转化为求 因为 ，得 因此，列车从减速开始到停下来的3分钟内所经过的路程为 （公里）， 即列车在距站台1．5公里处开始减速．
微积分基本公式 若函数 是连续函数 在区间 此公式称为微积分基本公式，也称为牛顿－莱布尼兹公式． 上的一个原函数，则 此公式称为微积分基本公式，也称为牛顿－莱布尼兹公式． 直接积分法---直接利用微积分基本公式和基本积分表计算积分。
五、案例 案例1． [曲线方程] 一曲线通过点 且在任一点处的切线斜率 等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程． 解 设该曲线的方程为 ，由题意，得 又由不定积分公式知 曲线通过点 代入上式，解得 所以此曲线的方程为
案例2．[运动方程] 已知一物体作直线运动，加速度为 且当 时， (1)求速度 与时间 的函数关系； (2)求路程 的函数关系． 解 (1)由速度与加速度的关系 知速度满足 且 由不定积分公式得 代入得 得 所以
(2)由于路程与速度的关系 满足 知路程 且 由不定积分公式得 得 代入 , 所以
案例3 [磁场能量] 在电压和电流关联参考方向下，电感元件 吸收的功率为 在dt时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为: 电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从0增大到 时，电感元件储存的磁场能量为 由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流建立的过程无关。
案例4．[电流函数] 一电路中电流关于时间的变化率为 若 时 求电流 关于时间 的函数． 由于 ,所以对此式求不定积分得 解 代入 得 所以
案例5．[结冰厚度] 池塘结冰的速度由 给出，其中 是自结冰 起到时刻 (单位：小时)冰的厚度（单位：cm）， 是正常数．求 关于 的函数． 由于 ,所以对此式求不定积分得 解 其中 时刻刚开始结冰,所以此时冰的厚度为0有 解得 所以