恰当方程（全微分方程） 一、概念 二、全微分方程的解法
定义: 若有全微分形式 则 称为全微分方程。 通解则为 （C为任意常数）。 例1： 方程 是否为全微分方程？ 解： 所以是全微分方程. 一、概念 定义: 若有全微分形式 则 称为全微分方程。 通解则为 （C为任意常数）。 例1： 方程 是否为全微分方程？ 解： 所以是全微分方程.
问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？ （3）如何转化为全微分方程？ 定理1 设函数 和 在一个矩形区域 中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程 证明： （1）证明必要性 因为 是全微分方程，
则存在原函数 ，使得 所以 将以上二式分别对 求偏导数，得到 又因为 偏导数连续， 所以 ，即
（2）证明充分性 设 ，求一个二元函数 使它满足 这里 即 由第一个等式，应有 代入第二个等式，应有
因此 ，则 因此可以取 此时 这里由于 ，故曲线积分与路径无关。因此
二、全微分方程的解法 (1) 线积分法: 或 (2) 偏积分法 第一个等式对 积分
代入第二个等式求 ，即可得 (3)凑微分法 直接凑微分得 例2：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 解： 由于
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法: 故通解为
(2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有 代入可得 因此 从而 即
(3) 凑微分法: 由于 根据二元函数微分的经验,原方程可写为 方程的通解为：
例3：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 解： 由于 所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
故通解为 (2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有 所以 从而 即
(3) 凑微分法: 根据二元函数微分的经验,原方程可写为 方程的通解为： 练习：验证方程 是全微分方程，并求它的通解。 方程的通解为：
积分因子法 一、概念 二、积分因子的求法
) , ( ¹ y x m ) , ( y x m 一、定义: 连续可微函数，使方程 ) , ( = m + dy y x Q dx P ) , ( ¹ y x m 连续可微函数，使方程 ) , ( = m + dy y x Q dx P 成为全 微分方程 则称 ) , ( y x m 为方程的 积分因子 . . 例1 验证 是方程 的积分因子，并求方程的通解。 解： 是全微分方程。 方程通解为
二、积分因子的求法 1.公式法: (两边同除 ) 求解不容易 特殊地: a. 当 只与 有关时，
b. 当 只与 有关时，
2.观察法: 凭观察凑微分得到 常见的全微分表达式
可选用的积分因子有 可选用的积分因子有 一般可选用的积分因子有 等。
例2 的通解 求微分方程 . 解 1.公式法: 则原方程成为 原方程的通解为
2.观察法: 分组求积分因子的思想。 将方程左端重新组合,有 可选用的积分因子有 可选用的积分因子有 因此取积分因子为 原方程的通解为
练习 求微分方程 的通解。