第二节 微积分基本定理 一、积分上限的函数及其导数 二、牛顿-莱布尼茨公式 三、小结
一、积分上限的函数及其导数 设函数 在区间 上连续，x为区间 上任意一点，则 在区间 上可积，即 在区间 上的积分 存在。这里字母x即出现在被积表达式中，是积分变量，又出现在积分限中，是积分上限。为避免混淆，把积分变量改用其它字母，如t，即改记为 。由于积分下限为定数a，上限x在区间 上变化，故定积分 的值随x的变化而变化，由函数定义知 是上限x的函数（称为变上限积分），如图6-10，记为 ，即 y a b O x 图6-10
定理1(变上限积分对上限的可导定理)设 在区间 上连续， 则函数 在区间 上可导，且其导数就是 ，即 证 取 充分小，使 ，由定积分的性质3和定积分中 值定理，得 其中 或 。于是，由导数定义和 的 连续性，得 即
本定理把导数和定积分这两个表面看似不相干的概念联系了起来，它表明：在某区间上连续的函数 ，其变上限积分 是的一个原函数。于是有 定理2(原函数存在定理) 若函数 在区间 上连续，则在该区间上， 的原函数存在。 例1 求(1) (2) (3) 解 (1) 是连续函数，由定理1得 (2) 设 ，由复合函数求导法则得
(3) 由定积分性质3，对任意常数a， 于是 例2 设 求 和 解 是由x的函数 和 相乘，由乘积求导的运算法则，得 由例1可见，变限积分是变限的函数，它是一类构造形式全新的函数。变限积分对变限的导数是一类新型函数的求导问题，完全可以与求导有关的内容相结合，如利用导数的运算法则，洛必达法则求极限，判别导数的单调性，求极值等等。下面再看几个例子，可从中得到启发。
(2)当 时，该极限是“ ”型未定式，可以用洛必达法则 例3 求下列极限： (a>0为常数) 解 (1)当 时， 因此该极限是“ ”型未定 式，可以用洛必达法则求极限，有 (2)当 时，该极限是“ ”型未定式，可以用洛必达法则 求极限，有
例4讨论函数 在区间 上的单调性 与最小值。 证 ，故函数 在 单调增加，所 以 ，最小值为 ，此时，变上限函数的上限变 为0，即
二、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 定理3 设函数 在区间 上连续，且 是它在该区间上的 一个原函数，则有 证 有定理1知 是 的一个原函数，从本定理条件知 也是 的一个原函数，上述两个原函数之间相差一个常 数 ，即
用x=a代入上式两边，得 再用x=b代入前式两边，得 为了书写方便，上式通常表示为
上式称为牛顿-莱布尼茨公式，这是一个非常重要的共识，揭 示了定积分与不定积分之间的内在联系。公式表明：定积分计算 不必用和式的极限，而是利用不定积分来计算，在定理3的条件 下，函数 在区间 上的定积分得值等于 任意一个原函 数 在区间两个端点处的函数值之差 ，是定积分计 算的基本方法，它为微积分的创立和发展奠定了基础。 本章开头，由曲线 ，直线x=0,x=1和y=0所围的曲边梯形的 面积A，现在可以轻而易举地得到：
例5 验证 证 易知， 是 的一个原函数，由牛顿-莱布 尼茨公式得 于是 例6 求 解 在区间[0，1/2]上连续，且 是 的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得
例7 求 解
牛顿-莱布尼茨公式指明了定积分与不定积分的联系，即 当计算不定积分用到凑微分方法时，计算定积分的过程可表达为。 例8 求 解
例9 设 求 解 由定积分的性质3，有 例10 求 解
三、小结 1.积分上限函数 2.积分上限函数的导数 3.微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．
练 习 题6.2
练习题6.2答案