CH 6 傅里叶积分变换 1、傅立叶积分 傅立叶变换 2、 3、傅立叶变换的性质 4、卷积及傅立叶变换的应用
§ 6.1 傅立叶（Fourier）积分 1.主值意义下的反常积分 2.Fourier积分公式
1. 主值意义下的反常积分 定义1 设函数 在实轴的任何有限区间上 都可积.若极限 存在,则称在主 值意义下 在区间 上的反常积分 定义1 设函数 在实轴的任何有限区间上 都可积.若极限 存在,则称在主 值意义下 在区间 上的反常积分 收敛,记为：
由定义 (1)函数在普通意义下收敛，在主值意义下必收敛， 在主值意义下收敛，在普通意义下未必收敛； (2)若函数为偶函数则意义一致；
例1 解:
2. Fourier积分公式
定义2：
定理1（傅里叶积分定理）：
例1. 求下列函数的傅里叶积分表达式. 解：
§ 6.2 傅立叶（Fourier）积分变换 1.傅里叶积分变换的概念 2.单位脉冲函数
若函数为奇函数或偶函数时，积分式可改为特殊三角结构 1. Fourier积分变换及逆变换 若函数为奇函数或偶函数时，积分式可改为特殊三角结构 定义： 频谱函数 ℱ ℱ ℱ
例1. 求下列函数的傅里叶变换. 解： ℱ ℱ
例2. 求下列函数的傅里叶变换及逆变换. 解： ℱ
由傅里叶积分定理：
练习： 求下列函数的傅里叶变换. 解： ℱ
2. 函数的概念 在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.
1）引例 在原本电流为零的电路中，在时间t=0 时刻进入一单位电量的脉冲，现在需要确定电流
其物理意义：在某时刻出现宽度无限小，幅度无限大，面积为1的脉冲 定义： 满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（ ） 其物理意义：在某时刻出现宽度无限小，幅度无限大，面积为1的脉冲 1 o
定理： 频率 振幅
积分中值定理
ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ
由此得： ℱ ℱ ℱ ℱ
ℱ ℱ
例2. 计算下列各式. ℱ 1） ℱ 2） 1） 解： ℱ 2） ℱ
练习： ℱ 2） ℱ 1） 解： ℱ 1） ℱ 2） =
ℱ
证明： ℱ ℱ ℱ
§ 6.3 傅立叶变换的性质 1.线性性质 2.位移性质 3.微分性质 4.对称性与相似性 5.积分性质
1.线性性质 ℱ ℱ
练习： ℱ 1） ℱ 2） ℱ ℱ ℱ ℱ
2.位移性质 ℱ ℱ ℱ 证明： ℱ ℱ 参数 同理可证第二部分
练习： ℱ 1） ℱ 2） 解： 1） ℱ ℱ 2） ℱ ℱ =
推论： ℱ ℱ ℱ ℱ ℱ
3.微分性质 ℱ ℱ 证明： ℱ ℱ
推论： ℱ ℱ ℱ
例1：计算. ℱ 1） ℱ 2） ℱ 4） ℱ 3）
练习： ℱ 2） ℱ 1） ℱ 3）
4.对称性与相似性 1）对称性 ℱ ℱ 变量替换 2）相似性 ℱ ℱ ℱ
例2： ℱ 计算 ℱ 解得
例3： ℱ ℱ 求（1） ℱ （2） ℱ 解：（1） 或：（1） ℱ ℱ （2） ℱ （2） ℱ
5.积分性质 ℱ 证明： ℱ
练习： ℱ 1） ℱ 2） ℱ 3） ℱ 4） 5） ℱ
1.线性性质 ℱ ℱ 2.位移性质 ℱ ℱ 3.微分性质 ℱ ℱ
4.积分性质 ℱ
§ 6.4 卷积及傅立叶积分变换的应用 1.卷积的概念 2.傅里叶变换的应用
1.卷积的定义及其存在性 定义：
例1. 求下列函数的卷积. 解：
例2. 求下列函数的卷积. 解：
练习：对函数 解：
2.卷积的性质 证明：
证明：
3.Fourier变换的卷积定理 ℱ ℱ 证明： ℱ
例3. 证明Fourier变换的积分性质. ℱ 证明： ℱ
ℱ ℱ ℱ ℱ
4.Fourier变换的应用 例4. 求特殊函数的积分.
例5：求解下列积分方程. 解：
例6： 一般思想为：将方程两端同时进行傅里叶变换，将微积分方程转换为代数方程，从而求解出像函数，最后通过像函数解出原函数。