第七讲 散射 一、散射截面 散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。   靶粒子的处在位置称为散射中心。 Z θ ds 散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。 弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称 弹性散射，否则称为非弹性散射。 1

2 入射粒子流密度N ：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入 射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为 入射粒子流强度。 散射截面： 设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然 dn N 综合之，则有： dn Nd 或 （1） 比例系数q(，)的性质： q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数。 q(，)具有面积的量纲 2

3 故称q(，)为微分散射截面，简称为截面或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取面积q(，)，则单位时间内通过此截面q(，)的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。 （2） 总散射截面： （3） [注] 由（2）式知，由于N、 可通过实验测定，故而求得 。 量子力学的任务是从理论上计算出 ，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。 3

4 二、散射振幅 现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。 取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态schrödinger方程 （4） 令 方程（4）改写为 （5） 由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为 。因此，在计算时 ，仅需考虑 处的散射粒子的行为，即仅需考虑 处的散射体系的波函数。 设 时， ，方程（5）变为 （6） 令 （7） 4

5 将（6）式写成 在 的情形下，此方程简化为 （8） 此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况 在 的情形下，此方程简化为 （8） 此方程类似一维波动方程，我们知道： 对于一维势垒或势阱的散射情况 式中 为入射波或透射波， 为散射波，波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射，三维散射时，在 处的粒子的波函数应为入射波和散射波之和。 方程（8）有两个特解 5

6 因此， 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。 代表由散射中心向外传播的球面散射波， 代表向散射中心会聚的球面波，不是散射波，应略去。 在 处，散射粒子的波函数是入射平面波 和球面散射波 之和。即 （9） 为方便起见，取入射平面波 的系数A=1，这表明 ，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。 入射波几率密度（即入射粒子流密度） （10） 散射波的几率流密度 6

7 （11） 单位时间内，在沿 方向d立体角内出现的粒子数为 （12） 比较（1）式与（12），得到 （13） 由此可知，若知道了 ，即可求得 ， 称为散射振幅，所以，对于给定能量的入射粒子，速率 给定，于是入射粒子流密度N= 给定，只要知道了散射振幅 ，也就能求出微分散射截面， 的具体形式通过求schrödinger方程（5）的解并要求在 时具有渐近形式（9）而得出。 下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法——分波法，玻恩近似方法。 分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。 7

8 三、分波法 讨论粒子在中心力场中的散射。 粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程 （3-1） 粒子在辏力场中的势能为 ，状态方程 （3-1） 取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，按照§3.3.的讨论，对于具有确定能量的粒子，方程（3-1）的特解为 由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成 方程（3-1）的通解为所有特解的线性迭加 （3-2） Rl(r)为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波， 称为第l个分波，通常称l=0,1,2,3…的分波分别为s, p, d, f…分波 （3-2）代入（3-1），得径向方程 8

9 （3-3） 令 ，代入上方程 （3-4） 考虑方程（3-4）在 情况下的极限解，令 方程（3-4）的极限形式 由此求得： （3-5） 令 ，代入上方程 （3-4） 考虑方程（3-4）在 情况下的极限解，令 方程（3-4）的极限形式 由此求得： （3-5） 为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数 将（3-5）代入（3-2），得到方程（3-1）在 情形下通解的渐近形式 9

10 （3-6） 另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数 （3-7） 将平面波 按球面波展开 （3-8） 将平面波 按球面波展开 （3-8） 式中jl(kr)是球贝塞尔函数 （3-9） 利用（3-8），（3-9），可将（3-7）写成 （3-10） 10

11 （3-6）和（3-10）两式右边应相等，即 分别比较等式两边 和 前边的系数，即得 （3-11） （3-12） 分别比较等式两边 和 前边的系数，即得 （3-11） （3-12） 用 乘以（12）式，再对从 积分，并利用Legradrer多项式的正交性 可以得到 即 （3-13） 11

将此结果代入（3-11）式 （3-14） 可见，求散射振幅f()的问题归结为求 ，求l的具体值关键是解径向波函数R(r)的方程（3-3） l的物理意义： 由（3-8），（3-9）知， 是入射平面波的第 个分波的位相；由 （3-6）知， 是散射波第l个分波的位相。所以，l是入射波经 散射后第l个分波的位相移动（相移）。 12

微分散射截面 （3-15） 总散射截面 即 （3-16） 式中 （3-17） 是第l个分波的散射截面 13

由上述看们看出：求散射振幅f()的问题归结为求相移l，而l的获得，需要根据U(r)的具体情况解径向方程（3-3）求Rl(r)，然后取其渐近解，并写为 光学定理 （证明见后） 分波法的适用范围： 分波法求散射截面是一个无穷级数的问题，从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。 散射主要发生在势场的作用范围内，若以散射中心为心，以a为半径的球表示这个范围，则r>a时，散射效果就可以忽略不计了，由于入射波的第l个分波的径 向函数jl(kr)的第一极大值位于 附近，当r较大时，l愈大， 14

15 愈快，如果jl(kr)的第一极大值位于 ，即l>ka时，在r≤a内，jl(kr)的值 很小。亦即第l个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第l个分波 之前的各分波必须考虑，所以，我们把分波法适用的条件写成 ，而 的分波不必考虑，ka愈小，则需计算的项数愈小，当ka<<1时，l~0，这时仅需 计算一个相移0 即足够了，而ka足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射，l>ka的分波散射截面可以略去。 说明： 已知U(r)时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及 基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道U(r)的具体形式，这时， 我们可先由实验测定散射截面和相移，然后确定势场和力的形式和性 质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。 15

16 思考题：什么是分波法 分波法是说入射平面波eikz按球面波展开 展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移l。而l的获得需根据U(r)的具体形式解径向方程 求出Rl(r)，然后取其渐近解，并写成 即可得到第l个分波的相移，由于每个分波都将产生相移l，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。 16

17 分波法应用举例 ex. 球方势阱和球方势垒的低能散射。 粒子的势能 U0是势阱或势垒的深度或高度，设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），求粒子的散射截面。 Solve: 粒子的径向方程 （1） 其中 E为粒子的能量，U(r)为粒子在靶粒子中心力场中的势能。 对于球方势阱U0<0 （2） 17

18 因粒子波长 ，所以仅需讨论s波的散射 （l=0），据此及（2）式，可将方程（1）写成 （3） （4） 其中 令 ，则（3），（4）可写成 （5） （6） 其解为 （7） （8） 18

19 于是 （9） （10） 因 在r=0处有限，必须有 所以 在r=a 处， 及 连续，因此， 及 在r=a 处连续 由（7），（8）式得 由此求得相移 （11） 总散射截面 （12） 19

20 在粒子能量很低 的情况下， 。利用x<<1时，arctgx  x，有 （13） （14） 对于球方势垒 。 对于球方势垒 。 这时，用ik0代替以上讨论中的k0，在粒子能量很低 的情况下，（13）变为 （15） （14）写为 （16） 当 时 ，由于 代入（16）式，得 20

低能粒子经无限高势垒场的散射，其散射截面等于半径为a的球面面积，它与经典情况不同，在经典情况下，总散射截面就是作为散射中心的半径为a的硬球 的最大截面面积 ，它是量子力学计算的结果的 。 21

四、玻恩近似 分波法仅适用于讨论低能粒子的散射问题，当入射粒子的能量很高时，采用分波法计算散射截面就不恰当了，对于高能入射粒子而言，势能 可看作是微扰，体系的哈密顿算符为 其中， 是粒子的动能（自由粒子的哈密顿量），其本征函数取箱归 一化的动量本征函数 ，粒子与散射力场的相互作用能。 这里，采用箱归一化意味着体积L3内只有一个粒子。于是，入射粒子流密度 单位时间内，散射到 方向立体角 内的粒子数 （1） 22

23 另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为 的初态 跃迁到动量 的末态 ，即  对于弹性散射，动能守恒 另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力场的微扰作用，从动量为 的初态 跃迁到动量 的末态 ，即  对于弹性散射，动能守恒 单位时间内，粒子从初态 跃迁到动量大小为 ，方向为 的立体角 内所有末态上的几率，即跃迁几率 （2） 跃迁距阵元 （3） 为动量大小为 ，方向角为 的末态数目（态密度） （4） 23

24 将（3）、（4）代入（2）式，得出 （5） 此式在数量上即表示单位时间内跃迁到立体角d内的粒子数 （6） 比较（1），（6）式，并注意到 ，立即可得 （7） 式中绝对值内保留负号是因为用格林函数法算出的散射振幅 有一负号。引入矢量 θ 其中是散射角， 是散射引起动量的变化，于是 （8） 24

25 取 的方向为球坐标的极轴方向， 为方位角，则可简化积分 （9） 因而 （10） 取 的方向为球坐标的极轴方向， 为方位角，则可简化积分 （9） 因而 （10） 此式即为玻恩近似表达式，若势能U(r)已知，计算积分后就可以求出微分散射截面，所以，应用玻恩近似法计算微分散射截面时，主要难点在于给出U(r)的具体形式后，如何计算积分 。下面给出几种常见的较复杂的作用势能及对应的积分公式。 25

26 玻恩近似法应用举例： 玻恩近似法的适用范围： 玻恩近似法只适用于粒子的高能散射，它与分波法（适用于低能散射）相互补充，作为解决散射问题的两种主要近似方法。 玻恩近似法应用举例： ex.1 计算高速带电粒子 ，被中性原子内部的屏蔽库仑场 所散射的散射截面。 Solve：高速带电粒子属高能粒子，故 （1） 26

27 其中 （2） 当入射粒子的能量很大，散射角 较大时 （3） 所以上式可近似写成 （4） 其中 （2） 当入射粒子的能量很大，散射角 较大时 （3） 所以上式可近似写成 （4） 此式称为Rutherford散射公式。首先由卢瑟福用经典方法计算库仑散射（不考虑屏蔽作用）得出。这说明式（3）是经典力学方法可以适用的条件。式（4）表明要求散射角比较大，能量比较大，这时散射要在原子核附近发生，即入射粒子深入到原子内部，因而核外电子不起屏蔽作用。当角很小时，条件（3）不能满足，Rutherford公式不能成立，此时需用（1）式。 27

28 ex.1. 粒子受到势能为 的场的散射，求s分波的微分散射截面。 [解] 为一般起见，先考虑l分波的相移，再取特殊情况s分波的相移。 根据边界条件 （1） 解径向Rl(r)满足的径向方程 令 （2） 又令 所以（2）式可以写成 28

（3） 令 于是（3）式又可写成 （4） 上式是阶贝塞尔方程，其解为 因此 但当 时 ， 所以在r=0 附近 由 29

（5） 比较（1）式和（5）式，则有 令 将 值代入微分散射截面的表达式 立即可得到s分波的微分散射截面 30

s分波散射截面 31

32 ex.2. 慢速粒子受到势能为 的场的散射， 若 ， ，求散射截面。 [解] 由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑s 分波。 慢速粒子受到势能为 的场的散射， 若 ， ，求散射截面。 [解] 由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑s 分波。 由径向波函数R(r)所满足的径向方程 当l=0时 （1） 令 （2） （3） 将 代入以上方程 并令 （4） 32

（5） （6） 当 应有限，则要求 在r=a处，R(r)和 为连续 33

两式相除，得 (7) 总散射截面 讨论：当粒子的能量 时， 34

35 如果粒子能量很低k→0的情况下 如果 时， ，于是有 在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积。 如果 时， ，于是有 在这种情况下，总散射截面等于半径为a的球面面积。 它与经典情况不同，在经典情况下， 35

36 ex.3. 只考虑s分波，求慢速粒子受到势场 的场散射时的散射截面 ［解］根据边界条件 （１） 解径向方程： 令 则上方程简写为： 令　　　　 则上方程简写为： 令　 代入上方程，有 36

37 只考虑s分波，l=0，由于 ， ，以上方程在 时的渐近形式为 此为 阶贝塞尔方程，其解为 由于， ， 所以有限解为 于是 此为 阶贝塞尔方程，其解为 由于， ， 所以有限解为 于是 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 比较（1）和（2）两式，并注意取（1）式中的l等于0，则 37

ex.4. 用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的散射截面 [解] 根据微分散射截面公式 于是将 代入上式积分 38

  39

ex.5. 用玻恩近似法求粒子在势能场 中散射的微分 散射截面，式中 。 [解] 40

41

ex.6. 设 ，求反射系数 solve： （1） 令 则 （2） （3） （4） 将（2）~（4）代入方程（1），则有 （5） 其中 42

43 当 时，方程（1）的渐近形式 此方程有平面波解 令 （6） 当 时， ， 超于常数 （7） 利用这些关系式，方程（5）可写成 （8） 当 时，方程（1）的渐近形式 此方程有平面波解 令 （6） 当 时， ， 超于常数 （7） 利用这些关系式，方程（5）可写成 （8） 其中 将（8）写成 43

44 （9） 再令 显然 于是，方程（9）变为 （10） 方程（10）为超几何方程，其满足 （即 ）， 有限的解为 （11） 方程（10）为超几何方程，其满足 （即 ）， 有限的解为 （11） 满足 即 ， 有限的解为 （12） 44

当 ，即 时 反射系数： （13） 利用 45

我们可得： 46

将上述结果代入（13）式，得 47