第三章 数值积分法在系统仿真中的应用 3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法……………. 3.2 刚性系统的特点及算法…………………………. 第三章 数值积分法在系统仿真中的应用 3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法……………. 3.2 刚性系统的特点及算法…………………………. 3.3 实时仿真法………………………………………. 3.4 分布参数系统的数字仿真………………………. 3.5 面向微分方程的仿真程序设计…………………. 本章小结……………………………………………….

3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法 1. 数值积分法 如果已知某一系统的一阶向量微分方程为 （3-1） 3.1 连续系统仿真中常用的数值积分法 1. 数值积分法 如果已知某一系统的一阶向量微分方程为 （3-1） 对式子(3.1),数值积分可写成统一的公式 （3-2）

几种常用的积分法 欧拉法 欧拉法的几何意义 改进的欧拉法 龙格-库塔法 亚当斯法(显式) 亚当斯法(隐式)

欧拉法 欧拉法虽然计算精度较低，实际中很少采用， 但器推倒简单，能说明旧够数值解法一般计算公 式的基本思想。 （3-3） t 误差 t 图3.1 矩形近似及其误差

欧拉法的几何意义 欧拉法的几何意义 十分清楚。 t 称为欧拉折线法。 图3.2 欧拉折线

改进的欧拉法 在推导时用图中的阴影面积来近似 式(3.3)时，由于梯形公式中隐含有待求 量，通常可用欧拉法启动初值，算出近 似值，然后带如微分方程，最后利用梯 形公式求出修正。为提高精度，简化计 算，只迭代一次。这样可得改进的欧拉 公式： （3-8） t 第一式称为预估公式， 第二式称为校正公式。 图3.3 梯形近似及其误差

龙格-库塔法 泰勒级数 （3-9） 龙格-库塔（RK）法的一般形式为 （3-10） 式中

4阶龙格-库塔法式使用较多的一种方法，其公式如下 而 4阶龙格-库塔法式使用较多的一种方法，其公式如下 （3-11）

亚当斯法(显式) 在解决积分问题时，采用亚当斯-贝喜霍斯显示多步法，简称亚当斯法。 根据牛顿后插公式 （3-25） （3-26）

亚当斯多步法的计算公式是 （3-27） 其中 （3-28） （k=1时可得欧拉公式）

当k=2时，得到亚当斯多步法的计算公式，(3-28)式各系数为 （3-29）

故可得三阶亚当斯公式 整理上式得 （3-30）

亚当斯法(隐式) 牛顿前插公式为 （3-31） （3-32）

仿照显式多法的推倒过程，得亚当斯-摩尔顿隐式多步法 的计算公式 （3-33） 常用的四阶亚当斯预测-校正法的计算公式为 （3-34） （3-35）

3.2 刚性系统的特点及算法 一个刚性系统可以这样描述，对于n阶微分方程组 （3-36） 作为系统刚性程序的度量。

特征值决定数值求解总的时间。 当 时，系统为刚性系统，或称为stiff系统。对与这样的系统作做 数字仿真，其最大的困惑是：积分步长由最大的特征值来确定，最小的 特征值决定数值求解总的时间。 刚性系统在时间中的普遍性和重要性已得到广泛的重视，这种方程的数 值解已成为常微分方程的数值研究的重点。 目前解刚性方程的数值方法基本分为： 显式公式 隐式公式 预测校正

显式公式常用雷纳尔法。其中着眼点是，在保证稳定的前提下，尽 可能地扩大稳定区域。这一方法的优点是，它是显式的，所以便于程序 设计。对一般好的方程设计。对一般条件好的方程，它就还原为四阶龙 格-库塔方法，而对刚性方程它又有增加稳定性的好处。 众所周知，隐式公式都是稳定的，故都大于解描述刚性系统的方程 组，如隐式的龙格-库塔法。但这种方法每计算一步都要进行迭代，故计 算量大。在工程上使用又一定捆年。因此在解刚性方程时，常Rosenbrock 提出的半隐式龙格-库塔法。 预测-校正型中常用的解刚性方程的方法式Gear算法。Gear首先应 引进刚性稳定性的概念，它可以满足稳定型，而减低对h的要求。Gear 方法是一格通用的方法，它不但使用于解刚性方程组，而且也适用于解 非刚性方程组。

3.3 实时仿真法 假设仿真的连续动力学由非线形常微分方程描述为： （3-37） 3.3 实时仿真法 假设仿真的连续动力学由非线形常微分方程描述为： （3-37） 对(3-37)式采用二阶龙格-库塔公式求解，其递推方程可写为 （3-38） F为函数，外部输入为u(t) 。

图3.6 RK-2 的计算流程

为了适用于实时仿真计算，一般经常采用以下方法： （1）选择Adams多步法。 （2）合理地选择龙格-库塔法计算公式中的系数，使之适用于 实时仿真。 （3-39）

1 其流程图如图3-7： 图3.6 实时RK-2 的计算流程

下面为一个高阶的龙格-库塔法计算公式 （3-40）

（3）利用已经取得的值进行外推。 （3-41） 采用外推算法不仅会带来附加的误差，还要增加计算量，所以 比较下来还是选择实时算法为佳。

本章小结 (1) 系统的动态特性通常是用高阶微分方程或一阶微分方程组来 描述的。一般讲只有极少微分方程能用初等方法求得其解析解，多 数只能用近似数值求解。利用计算机求解微分方程主要使用数值积 分法，它是系统仿真的最基本解法。本章重点讨论了数值积分发在 系统仿真中的应用问题。 (2) 在系统仿真中，常用的微分方程的数值积分发有欧拉法、龙格-库塔法和线性等分法等。数值积分法的分类方式很多，常见的有：单步法和多步法，显式和隐式的分法。使用这些解法时，要注意其特点。

本章小结 (3) 实时仿真解法是半实物仿真所必须满足的条件，但并非所有的解法都适用于实时解法。应用时，必须仔细选择能满足实时要求的解法和公式。 (4) 有相应一类动力学系统无法用常微分法来描述，而要用偏微分方程法来描述。例如，热传导问题、振动问题等，这类系统被称为分布参数系统。这类系统的数值求解更难，主要的解法有差分解法和线上求解法。