第六章 勒让德函数 正交性 有界级数解 勒让德方程 完备性 勒让德方程 系数递推公式 积分表达式 微分表达式

主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方 程的级数解。 第六章 勒让德函数 第一节 勒让德方程与勒让德多项式 一、线性常微分方程的级数解法 主要内容：利用复变函数论求二阶线性齐次常微分方 程的级数解。

2.方程的常点和奇点

4.正则奇点邻域的级数解

二、勒让德方程与勒让德多项式

勒让德方程的一般解为： 其中级数 在x <1收敛，而在x = ±1处发散。 和 但物理问题往往要求：当 时，y(x)为有限,因此需要进一步确定满足此定解条件的解。 从系数递推公式：l 为偶数：l=2n（n 为正整数），则级数 将到 项为止。因为：k=l=2n 时， 均为零，即 退化为多项式，其最高次幂为 。此时若取 ，则得：

同理，l 为奇数：l=2n+1(n 为正整数)，则级数 将到 项为止。因为：k=l=2n+1 时， 均为零，即 退化为多项式，其最高次幂为 。此时若取 ，则得： 这样，无论l 为偶数还是奇数，这样选取系数后，所得的多项式为勒让德方程在满足定解条件下的解。

2. 勒让德多项式的简洁形式 为了与后面要引入的勒让德母函数 所得结果一致，通常取多项式最高次幂 的系数为： 由系数递推公式 低次幂项的系数 多项式，记作 。 由

令k=l− 2,l− 4,…,l− 2s，得： 由于k, l 均为整数，所以 其中 定义为：

于是得到 的具体表达式：

由勒让德多项式还可以得到以下结果： （1）奇偶性

（2） 的特殊值

第二节 勒让德多项式的微分与积分表达式 1. 勒让德多项式的微分表达式——罗德里格斯公式 勒让德多项式的另一种表示——微分表示 证明：由二项式展开定理得： 所以：

注意到：凡是指数(2l-2s)<l 的项经l 次求导后为0，故只剩下 2l−2s≥l的项，即2s ≤ l ，于是得： 因此有

5. 勒让德多项式的母函数、勒让德多项式的积分表达式——施列夫利公式 (1) 定义：若函数w(x,t)的泰勒级数为 t：复变数 则称w(x,t)为 的母函数（或生成函数）。

C’：u 平面的曲线，是t 平面曲线C 的像

勒让德多项式的积分表达式——(1)施列夫利公式

勒让德多项式的积分表达式——(2)拉普拉斯积分

6. 勒让德多项式的递推公式 递推关系：相邻的勒让德多项式以及它们的导数之间存在着一定的关系。具体如下： 证明：(1) 由母函数关系式

两边对t 求导，有： 改写为： 两边乘以(1− 2xt + t2 ) ，再将母函数关系式代入，有 比较两边 的系数，有： 整理上式：

当 时，由于： ，所以 (2)由母函数关系式两边对x 求导： 又 整理上式后比较等式两边 的系数，得递推关系式 (2)。

7. 勒让德多项式的正交性与正交归一关系式 (1) 勒让德多项式的正交性： 另一种形式： 勒让德方程可改写为下述形式： 由于 和 分别是l阶及k阶方程的特解，因此

用 乘以第一式， 乘以第二式后相减，然后再积分，得

(2) 的模 利用母函数的关系式，有： 两边对x积分，并利用勒让德多项式的正交性

上式左边的积分 在 　　 的区域将　　　　展开成泰勒级数P64例3.3.6

上式在 的区域内对任意的t 成立，故有 归一化因子 (3) 勒让德多项式的正交归一关系式

8.广义傅里叶级数的完备性 若函数f(x)在[-1，1]上有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，则f(x)在[-1，1]上可以展开成绝对且一致收敛的级数。 ——广义傅里叶级数 可以作为广义傅里叶级数展开的基，且 是完备的。 展开系数 的求法：

例1:将 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式

10. 关联勒让德方程与关联勒让德函数 (1) 关联勒让德方程 I. m ≥ 0 设 是勒让德方程的解，即： 将上式对x 求m 阶导数： 由 计算上式左边第(1)、(2)项

上式实际上是关于 所满足的方程。 设： 代入关联勒让德方程，得：

与 满足相同的方程 关联勒让德方程的一个特解： 记作： II．m<0 将 代入关联勒让德方程，得： 上式的特解： III. 关联勒让德方程的特解

(2)关联勒让德函数的微分 将罗德里格斯公式代入方程的特解，得：

(3)关联勒让德函数的正交性与正交归一关系式 I.关联勒让德函数在区间[-1,1]具有正交性： II.关联勒让德函数的模

IV.广义傅里叶级数 关联勒让德函数的完备性 若函数在区间[-1，1]上有连续的一阶导数及分段连续的二阶导数，则f(x)在[-1，1]上可展开成绝对且一致收敛的级数 ——广义傅里叶级数 可作为广义傅里叶级数展开的基，表明是完备的。 利用关联勒让德函数的正交归一关系式可以求得展开系数：