类型1. 形如 的积分, 其中R(cosx,sinx)为cosx与sinx的有理函数. 令z=eix, 则dz=ieixdx=izdx §4.2 留数在定积分计算上的应用 类型1. 形如 的积分, 其中R(cosx,sinx)为cosx与sinx的有理函数. 令z=eix, 则dz=ieixdx=izdx

类型四——实轴上有单极点函数的定积分：

第五章 傅里叶(Fourier) 变换 掌握Fourier级数的展开方法 掌握Fourier积分与Fourier变换方法 了解δ函数的基本性质

第五章 傅里叶(Fourier) 变换 §5.1傅里叶级数 一 .周期函数的傅里叶展开

傅立叶 傅立叶(公元1768年～1830年),法国数学家、 物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成 就。

书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。 傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。 　　傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。

傅立叶的两个最主要的贡献—— “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点

在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如: 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).

最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt

人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近. 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近

作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数 1 傅里叶级数 若函数f(x)以2l为周期，即 f(x+2l)=f(x) 则可取三角函数族 作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数

三角函数族是两两正交的

利用上述正交性，可以求得级数展开的各系数： 称为傅里叶系数

. 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区间[-l,l]上 2 傅里叶级数的收敛性 . 并非理论上的所有周期函数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区间[-l,l]上 (1), 连续或只有有限个第一类间断点 (2), 只有有限个极值点 则级数是收敛的，且 级数和={

第一类间断点和第二类间断点的区别: 左极限及右极限都存在 第一类间断点 第二类间断点

不满足狄氏条件的例: 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些函数, 使得思维简单一些.

二 奇函数和偶函数的傅里叶展开 若f(x)是奇函数，则ak为0 叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=0

叫做傅里叶余弦级数, f ‘(0)=f ‘(l)=0 若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为 叫做傅里叶余弦级数, f ‘(0)=f ‘(l)=0

三 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 f(x)定义在（0,l),可以采取延拓的方法，使其成为某种周期函数g(x), 而在(0,l)上，g(x)≡f(x).然后对g(x)作傅立叶级数展开，该级数的和在（0,l)上代表f(x). 延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们在(0,l)上均代表f(x)。 有时，对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的方式。如要求 f(0)=f(l)=0 ，则应延拓成奇周期函数，如要求 f ‘(0)=f ‘(l)=0 ，则应延拓成偶的周期函数。

四 复数形式的傅立叶级数 利用三角函数的指数形式 可将级数表示为:

实数形式 复数形式

例 定义方波函数为 如图所示: f(t) 1 o -1 1 t

现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则 求傅立叶级数展开 1 -1 3 T=4 f4(t) t

则由 得 1 -1 3 T=4 f4(t) t

sinc函数介绍

sinc函数的图形: sinc(x) π 2π x

前面计算出 w

现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t) 1 -1 7 T=8 f8(t) t

则

则在T=8时, w

如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出 w

一般地, 对于周期T

当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是f(t)的各个频率成份上的分布, 称作f(t)的傅里叶变换.

§5.2 傅立叶积分与傅立叶变换 （一）实数形式的傅立叶积分 §5.2 傅立叶积分与傅立叶变换 （一）实数形式的傅立叶积分 对任何一个非周期函数f(x)都可以看成是由某个周期函数g(x)当T=2l时转化而来的. 作周期为T的函数g(x), 使其在[-l,l]之内等于f(x), 在[-l,l]之外按周期2l延拓到整个数轴上, 则l越大, g(x)与f(x)相等的范围也越大, 这就说明当T=2l 时, 周期函数g(x)便可转化为f(x), 即有

g(x)的傅立叶展开式在T→∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数f(x)的傅立叶展开。

引入变量 则

对g(x)展开式的三部分分别讨论： 有限

于是：

周期函数的傅里叶级数展开 ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…)是分离值

傅氏积分定理 若f(x)在(-, +)上满足条件: 1, f(x)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2, f(x)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则f(x)可表成傅立叶积分，且 积分值=[f(x+0)+f(x-0)]/2。

讨论：

例 矩形函数为 f(t) 1 o h -1 t

1/2 o h

例 矩形函数为 f(t) T o h -T t

T o h ω o A(ω) 2hT/π π/T 2π/T 3π/T 4π/T 频谱图是连续谱，含有一切频率。

（二）复数形式的傅立叶积分 实数形式的傅立叶积分可以过渡到复数形式的傅立叶积分

得： ω -ω 傅里叶积分式

傅里叶变换式

傅立叶逆变换 傅立叶变换 可以记为F(w)=F [f(x)] 和 f(x)=F-1[F(w)] (傅里叶积分式) 傅立叶变换 可以记为F(w)=F [f(x)] 和 f(x)=F-1[F(w)] F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数. 可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.

傅立叶变换在光学中的应用

数学上可以将一个复杂的非周期函数做傅里叶积分变换，相应的在物理上，一个复杂结构的光学图像可以被分解成一系列连续单频信息的积分-----傅立叶光学 图像的信息可以用其透过率函数表示：t=t（x），可以展成傅立叶积分形式 若用一束复振幅为U1的平行光照射这个光学图像（衍射屏） 这样把衍射屏的空间频率ω的信息以透过率函数的形式加到了入射光U1上，变为出射光U2，分析U2的傅立叶变换函数u2（ ω ），就能得到衍射屏的空间频率信息，即光学图像的样貌。

f(t) t

解： 这就是指数衰减函数的傅氏变换.

f(t) O t

因此有 如果令b=1/2, 就有 可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数

review 周期函数的傅里叶级数展开 ωk=k ω =kπ/l (k=0,1,2,…)是分离值

review

review

review 复数形式的傅立叶积分及其系数表达式 ————傅立叶变换对 傅立叶逆变换 傅立叶变换 (傅里叶积分式) 傅立叶变换 可以记为F(w)=F [f(x)] 和 f(x)=F-1[F(w)] F(w)称作f(t)的象函数, f(x)称作F(w)的原函数. 可以说象函数F(w)和原函数f(x)构成了一个傅氏变换对.

三 傅立叶变换的基本性质 1 导数定理 F [f '(x)]=iwF(ω) 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得

推论 F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F [f(x)]=F(w), 则

2. 积分定理

3 相似性定理 证：

4. 延迟定理 证 由傅氏变换的定义, 可知 令x-x0=u

5 位移定理 证：

6 卷积定理 若F 1(w)=F [f 1(x)], F 2(w)=F [f 2(x)], 则 证 按傅氏变换的定义, 有

1 导数定理 F [f(n)(x)]=(iw)nF [f(x)]. 2. 积分定理 运用傅氏变换的微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一.

的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数. 例 求微分积分方程 的解, 其中<t<+, a,b,c均为常数. 解: 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w). 在方程两边取傅氏变换, 可得

x(t) = F -1 [ X(w) ],

§5.3 δ函数 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.

在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t) 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 所以, 当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.

如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.

二 d-函数的定义与性质 （1）定义

（2）性质 奇偶性 δ（-x)=δ(x), δ’（-x)=-δ’(x)

三 d-函数的傅立叶变换 d-函数的傅氏积分为:

例 求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换

如图所示: sint |F(w)|  1/2 1/2 -w0 w0 t O w

在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱) 在频谱分析中, 傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于w是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱.