第三节 第十章 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
一、三重积分的概念 引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的 物质, 密度函数为 求分布在 内的物质的 质量 M . 解决方法: 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得
定义. 设 若对 作任意分割: 任意取点 下列“乘 积和式” 极限 存在, 则称此极限为函数 在 上的三重积分. 称为体积元素, 定义. 设 若对 作任意分割: 任意取点 下列“乘 积和式” 极限 记作 存在, 则称此极限为函数 在 上的三重积分. 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 中值定理. 在有界闭域 上连续, V 为 的 体积, 则存在 使得
二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
方法1. 投影法 (“先一后二” ) 细长柱体微元的质量为 该物体的质量为 微元线密度≈ 记作
方法2. 截面法 (“先二后一”) 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度≈ 记作
方法3. 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 投影法
当被积函数在积分域上变号时, 因为 均为为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
例1. 计算三重积分 其中 为三个坐标 面及平面 所围成的闭区域 . 解:
例2. 计算三重积分 解: 用“先二后一 ”
2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.
其中 为 例3. 计算三重积分 由柱面 及平面 所 围成半圆柱体. 解: 在柱面坐标系下
例4. 计算三重积分 其中 由抛物面 与平面 所围成 . 解: 在柱面坐标系下 原式 =
3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
例5. 计算三重积分 其中 与球面 所围立体. 解: 在球面坐标系下
例6.求曲面 所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部, 且关于 xOz yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为 利用对称性, 所求立体体积为
内容小结 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 积分区域多由坐标面 围成 ; 柱面坐标系 被积函数形式简洁, 或 球面坐标系 变量可分离. 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或 变量可分离. * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为
思考与练习 1. 将 用三次积分表示, 其中 由 六个平面 所 围成 , 提示:
2. 设 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数
3. 设 由锥面 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标
作业 P162 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); *10 (2) ; 11 (1), *(4) 第四节
备用题 1. 计算 其中 由 所围成. 分析：若用“先二后一”, 则有 计算较繁! 采用“三次积分”较好.
解: 所围, 故可 表为 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?
2. 计算 其中 解: 利用对称性