3.4　生活中的优化问题举例

学习目标 1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法． 2．提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力．

课前自主学案 课堂互动讲练 3.4 知能优化训练

1．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，那么函数f(x)在[a，b]上必有__________和 课前自主学案 温故夯基 1．如果函数f(x)在闭区间[a，b]上是连续函数，那么函数f(x)在[a，b]上必有__________和 __________，但在开区间(a，b)上的连续函数 __________有最大值和最小值． 2．闭区间上连续函数的最大值和最小值必是这个区间内的__________、__________和区间端点___________中的一个． 3．函数f(x)＝x3－3x＋1的区间[－3,0]上的最大值、最小值分别为 3、－17. 最大值 最小值 不一定 极大值 极小值 函数值

知新益能 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ____________，通过前面的学习，我们知道，__________是求函数最大(小)值的有力工具，运用__________可以解决一些生活中的 _____________ 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成____________，这需通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由 优化问题 导数 导数 优化问题． 函数关系

极值 端点 ________和________的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有________的极值，则它就是函数的最值． 3．解决优化问题的基本思路是： 惟一 上述解决优化问题的过程是一个典型的 _______________过程． 数学建模

解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 课堂互动讲练 考点突破 面积、容积的最值问题 解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形的面积最大时的边长． 【思路点拨】 设出AD的长，进而求出AB，表示出面积S，然后利用导数求最值． 【解】 设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2， ∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0<x<2)． ∴S′＝8－6x2. 例1

费用(用材)最省问题 选取合适的量为自变量，并确定其取值范围．正确列出函数关系式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数关系式是解题的关键． (2010年高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系： 例2

【思路点拨】　首先利用C(0)＝8求出k的值，从而可表示出f(x)，再利用导数求得最值．

利润最大问题 用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤： (1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．

某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 例3

【解】 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2) ＝(21－x)(432＋kx2)， 又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6. 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]． (2)根据(1)， f′(x)＝－18x2－252x－432＝－18(x－2)(x－12)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) － ＋ f(x)  极小值  极大值 故x＝12时，f(x)取得极大值． 因为f(0)＝9072，f(12)＝11664， 所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．

【名师点评】　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．

方法感悟 解应用题的思路和方法 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去，其思路如下：

(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系； (2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定其答案．

知能优化训练

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