第五节 对坐标的曲面积分 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分的联系.

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第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结.
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第四章 一元函数的积分 §4.1 不定积分的概念与性质 §4.2 换元积分法 §4.3 分部积分法 §4.4 有理函数的积分
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第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 小结、作业 1/22.
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第五节 对坐标的曲面积分 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分的联系

一、基本概念 观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的) 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧

曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面

典型单侧曲面: 莫比乌斯带

指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦 封闭曲面 > 0 为前侧 < 0 为后侧 > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 • 设  为有向曲面, 其面元 在 xoy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定

二、概念的引入 实例: 流向曲面一侧的流量.

1. 分割 则该点流速为 . 法向量为 .

2. 求和

3.取极限

三、概念及性质

被积函数 积分曲面 类似可定义

2、存在条件: 3、组合形式:

5、性质:

四、计算法

注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.

例1. 计算 其中  是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧.

例2

例3. 设S 是球面 的外侧 , 计算

五、两类曲面积分之间的联系

两类曲面积分之间的联系

两类曲面积分之间的联系的用处-化为同一类型的积分

例5. 设 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 解:

六、小结 计算时应注意以下两点 曲面的侧 “一投,二代,三定号”

思考题

作业 P228. 2,3,4