高等数学 第一讲 函数的概念 主讲教师：陈殿友 总课时： 124

引 言 一、什么是高等数学 ? 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 引 言 一、什么是高等数学 ? 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 恩格斯 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生. 笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束

主要内容 1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续. 2. 微积分学: 1) 一元微分学; 2) 一元积分学. 3. 多元微积分: 1)多元函数微分学 2) 二重积分; 4. 常微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、如何学习高等数学 ? 一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 . 要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学. 1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣. 马克思 一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 . 恩格斯 要辨证而又唯物地了解自然 , 就必须熟悉数学. 2. 学数学最好的方式是做数学. 聪明在于学习 , 天才在于积累 . 华罗庚 学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 . 第一节 目录 上页 下页 返回 结束

笛卡儿 (1596～1650) 法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发 表的《几何学》论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 把几何问题化成代数问题 , 给出了几何问题的统一 作图法, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.

华罗庚(1910～1985) 我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方 程, 高维数值积分等广泛的数学领域中, 都作出了卓越的贡献 , 发表专著与学术论文近 300 篇. 他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽, 专, 漫 ”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业 知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给 给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.

三、高等数学 的性质与作用 高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学习后续数学的必修课，还是学习其他专业的必修课。 高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。 通过本课程的教学，使学生掌握较完整的高等数学基本知识的同时，注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力、综合运用能力和数学语言及符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教学环节提高学生综合运用基本概念、基本理论、基本方法分析问题和解决问题的能力，并逐步培养学生科学求实、严谨准确的作风。通过本课程教学，与其它数学基础课共同达到全面提高学生数学素质的目的。 笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束

第一章 函数、极限、连续 函数 — 研究对象 分析基础 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

第一章 §1 函数 一、集合 二、函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 一、 集合 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作  . 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 ( 或 ) . 表示 M 中排除 0 的集 ; 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

表示法： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 例: 整数集合 和 p 与 q 互质 有理数集 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束

闭区间 半开区间 无限区间 机动 目录 上页 下页 返回 结束

点的  邻域 去心  邻域 其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 . 左  邻域 : 右  邻域 :

高等数学 第二讲 函数的概念 主讲教师：陈殿友 总课时： 124

二、函数 1. 函数的概念 定义2. 设有两个变量x和y，如果对于x所考虑范围内的每一个值，y按一定的规则对应着一个确定的值，则称y是x的函数，记作y=f(x). 定义3. 对于自变量x变化范围内的每一个值x0，函数y有一个确定的值y 0与之对应，我们称函数在点x0处是有定义的，使函数有定义的全体的点的全体（也就是x的变化范围）称为函数的定义域。 定义域 自变量 因变量

f ( D ) 称为值域 函数图形: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(定义域) (对应规则) (值域) 定义域 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 例如, 反正弦主值 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如 函数f(x)=sinx在（-∞，+∞）内是有界的，数1就是它的一个上界，数-1就是它的一个下界。 2. 函数的几种特性 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 为有界函数. 使 称 在 I 上有界. 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 ) 例如 函数f(x)=sinx在（-∞，+∞）内是有界的，数1就是它的一个上界，数-1就是它的一个下界。 又如 | sinx|≤1 对于任一实数x都成立，故函数f(x)=sinx （-∞，+∞）内是有界的. 这里的M =1（当然也可以取大于1的任何数M而使 | f(x)|≤ M成立）. 使 若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例如 f(x)=x2在区间[0，+∞）上是单调递增的，而在区间（ -∞ ， 0]上是单调递减的.在区间（-∞，+∞）上不是单调的. (2) 单调性 当 时, 称 为 I 上的 单调增函数 ; 称 为 I 上的 单调减函数 . 例如 f(x)=x2在区间[0，+∞）上是单调递增的，而在区间（ -∞ ， 0]上是单调递减的.在区间（-∞，+∞）上不是单调的. 又如，函数f(x)=x3在区间（-∞，+∞）内是单调增函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3) 奇偶性 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 则当 为奇函数时, 必有 例如, 偶函数 记 双曲余弦 机动 目录 上页 下页 返回 结束

又如, 奇函数 记 双曲正弦 再如, 奇函数 记 双曲正切 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(4) 周期性 且 若 则称 为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为  周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 x 为有理数 狄里克雷函数 x 为无理数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

高等数学 第三讲 函数的概念 主讲教师：陈殿友 总课时： 124

3. 反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 设函数y=f(x),当变量x在一个区域Df内变化时，变量y在区域Rf内变化，如果对于变量y在区域Rf内任取一个值y0，变量x在区域Df内有x0，使y0=f(x0),则x变量是y变量的函数,用 表示，函数 称为函数y=f(x)的反函数. 的反函数记成 习惯上, 性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数 且也单调递增 (减) . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 指数函数 互为反函数 , 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两个函数的所谓复合，实际上就是中间变量介入自变量到因变量的变化过程.设有如下两个函数 (2) 复合函数 两个函数的所谓复合，实际上就是中间变量介入自变量到因变量的变化过程.设有如下两个函数 ① ② 则 称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数 : 可定义复合 函数 但函数 不能构成复合函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.函数的运算：加法，乘法，商。 设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,D=D1∩D2≠ 则我们可以定义这两个函数的下列运算: 和(差)f±g: （f±g)(x)=f(x) ±g(x), x∈D; 积f.g： （f.g)(x)=f(x).g(x), x∈D; 商

例： 设函数f(x)的定义域为(-l,l)，证明必存在的偶函数 g(x)及奇函数h(x),使得 f(x)=g(x)+h(x). 证 先分析如下：假如这样的g(x)、h(x)存在，使得 f(x)=g(x)+h(x)， 且 g(-x)=g(x), h(-x)=-h(x). 于是有 f(－x)=g(－x)+h(－x) =g(x)－h(x).

利用（１）﹑（２）式，就可作出 这就启发我 们作如下证明： 作 则 g(x)+h(x) = f(x). 且

5. 初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 . 可表为 例如 , 故为初等函数. 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . ( 自学, P17 – P21 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

非初等函数举例: 符号函数 当 x > 0 当 x = 0 当 x < 0 取整函数 当 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5. 求 的反函数及其定义域. 解: 当 时, 则 当 时, 则 当 时, 则 定义域为 反函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

作业 内容小结 练习题1.1 1. 集合的概念 定义域 对应规律 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构 作业 练习题1.1 第二节 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 且 1. 设 时 其中 a, b, c 为常数, 且 证明 为奇函数 . 证: 令 则 由 消去 得 为奇函数 . 1. 设 时 其中 a, b, c 为常数, 且 证明 为奇函数 . 证: 令 则 由 消去 得 为奇函数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

的图形与 2 . 设函数 均对称, 求证 是周期函数. 证: 由 的对称性知 于是 故 是周期函数 , 周期为 机动 目录 上页 下页 返回 结束