§5-4 边界层积分方程组的求解及比拟理论 二、数学模型（完整的数学描述应是：方程+定解条件） 积分方程 一、物理问题 §5-4 边界层积分方程组的求解及比拟理论 积分方程 一、物理问题 一块平板，垂直于屏幕方向放置，平行流体以u，t掠过平板，平板温度为tw ， tw ≠ t，将有热量传给流体（稳态、常物性） 二、数学模型（完整的数学描述应是：方程+定解条件） 1. 动量积分方程 进入ab面的动量 为 cd面流出的动量 动量的变化等于所受外力之和

净流出动量 ac面没有流体穿过 bd面根据质量守恒: ab进入质量 cd流出质量 bd面流出的质量为 相应的动量为 注这里略去u沿x变化引入的高阶导数项 ab，cd面压差

于是动量定理可以表达为 又 代入上式 既 由Bernoulli方程

根据边界层的特点，在边界层外的主流区有 故上式可以写为： 2. 能量积分方程 条件：稳态，常物性，不可压缩，无耗散。 则由热力学第一定律: 净吸收热量=进入热量-传出热量=0

在推导微分方程时已得出结论 既说在x方向上的导热可以忽略。 故第一定律可以写成： 在推导动量方程时，已设穿过bd面的流入质量为： 它带入控制体的热量为：

ac面导热为： 在边界层外

3. 边界条件 动量和能量积分方程及边界条件构成了问题的完整数学 描述，剩下的问题是如何求解。 三、积分方程组的求解示例 稳态，常物性流体强制掠过平板时的流动换热，常壁温，无耗散。此时换热不影响流动，而流动要影响换热。故可以分别求解，先求动量积分方程。

1. 流动边界层(Von Karman 1921) 由于 为求解上式必须补充边界层中的速度分布，选用 根据边界条件

于是速度分布为 代入积分方程，积分得

范宁摩擦系数（Fanning friction coefficient） 平均 2. 热边界层(Γ.Η.Κружилин克鲁齐林1936） 设温度分布为： 边界条件 由于边界条件和方程一样，故系数也应一样

能量积分方程 用过余温度表示 将温度和速度分布代入积分方程得，并令

若 则 可以略去不计，则 可以改写成 又由动量积分方程知 代入得 此微分方程的通解为：

边界条件 故C=0 局部对流换热系数 此时的定性温度

此式在层流范围内与实验相符，与微分解一致。

例5-1 压力为大气压的20℃的空气，纵向流过一块长400mm，温度为40 ℃的平板，流速为10m/s，求；离板前缘50mm, 100mm，150mm，200mm，250mm，300mm，350mm，400mm处的流动边界层和热边界层的厚度。 解：空气的物性参数按板表面温度和空气温度的平均值 30 ℃确定。30℃时空气的=16×10-6m2/s, Pr=0.701 对长为400mm的平板而言： 这一Re数位于层流到湍流的过渡范围内。但由图5-10可见，按层流处理仍是允许的，其流动边界层的厚度按式5-22计算为：

热边界层的厚度可按式5-27计算 及t 计算结果示于图5-11

例5-2 上例中，如平板为1m，求平板与空气的换热量。 解： 先求平板的平均换热系数： 平板与空气的换热量为：

比拟理论 紊流或湍流：常见的一种流态，复杂、非稳态、三维 Navier-Stokes方程仍然适用 研究方法 直接模拟 Anderson 等估算 1cm3区域 节点105 Orszag 大旋涡尺寸104cm, 小旋涡1cm，大 涡周期60秒 ，进行一个周期计算要104步 长，1012节点，进行1018次运算。10亿次/秒 计算机大约要30年。 大旋涡模拟：较大的计算机容量 Reynolds 时均 Reynolds 比拟（Analogy) 实验

1. 湍流的动量与热量传递 时均值与脉动值 若时间足够长，则脉动的平均值为零 但脉动值之积不为零，当流体微团-v’向下，其质量-v’。传递的动量为-v’u’。动量传递净效果用时均值，称为湍流切应力 (turbulent shear stress or Reynolds stress) 这种表示方法不方便，常用

m 湍流粘度（eddy viscosity） 湍流动量扩散率(turbulent exchange coefficient of momentum)由实验确定。 脉动量v’同时也传递热量 仿照动量或层流导热 h 湍流热扩散率，湍流导温系数 Turbulent exchange coefficient for temperature Eddy diffusivity of heat , eddy heat conductivity m 和h不是物性。 Turbulent Prandtl number

2. Renolds比拟(analogy) 动量方程 Renolds认为：一层、湍流 能量方程 对于层流底层 如果Pr=1 对核心区，湍流附加切应力和热流密度均由脉动所致 则

积分 与层流相似。取 湍流 层流 可见当 湍流与层流的q/ 是相同的。Reynolds analogy可以用。 其中 (Stanton number)

于是 加下标x也可以，只是指局部准则数。 管流用Darcy friction coefficient 计算 取右图控制体，则有

故知 在Re=5 ×103——2 ×105时，光管 代入则 此式与Pr=1的实验相吻合。 Colburn 修正了Reynolds比拟 此式适用于Pr=0.6——50，对应的换热准则方程 Prandtl Analogy 两层模型 von Karman Analogy 三层模型 湍流模型：一方程，二方程，17方程（周培源）

Similarity Principle & dimensional analysis §5-5 相似原理及其量纲分析 Similarity Principle & dimensional analysis 相似原理 一、方程的无量纲化。 微分方程组，稳态，常物性，二维

引入无量纲量 则 而 用类似的方法可得其它导数项

假如有两个不同但相似的物理现象，若这两个物理现象的Pr，Re相同，则它们具有完整的数学描述，及量纲方程，边界条件都相同，所以他们的解是相同的。

二、相似的概念 1. 几何相似——几何体的对应边成同一比例 这就是几何相似。 2. 物理相似——空间各个对应点的物理量成同一比例 空间对应点 对应点的物理量 这就是物理相似。 相似：同类现象，方程同、几何、物理、边界和初始条件相似。

三、相似定理 1. 相似性质（相似第一定律）。 以对流换热为例： 各物理量相似，则 代入并整理得 由此可知 则 又 得出准则的这种方法叫相似分析。

X O Y 则 采用相似分析，从动量方程中得出： 从能量方程中得出： Peclet number 贝克利数 例：自然对流的准则数，在没有外来压力梯度时，压力的变化仅由流体的自重决定。 X 根据Bernoulli方程 则 而重力 O Y 浮升力 The coefficient of volume expansion 则

代入动量方程 无量纲化，得 Grashof number Rayleigh number

准则数的物理意义 结论：彼此相似的现象必定有数值相同的同名准则。

2. 相似条件（相似第二定理） 凡同类现象，如单值性条件相似，同名准则相等，则现象必定相似。 单值性条件：几何，物理，边界，时间条件。 3. 相似准则之间的关系 描述现象的微分方程的解只能是由这些准则数组成的函数关系。 已定准则：包括已知量的准则，也叫定性（型）准则 待定准则：包含待定量的准则，也叫非定性（型）准则 四、实验数据的实用整理方法 常用的方法是用已定准则的幂函数形式

量纲分析（Dimensional Analysis） 一、量纲 1. 定义：同种物理量单位的统称。m, cm, mm, ft, 都称长度 2. 量纲的分类 基本量纲(primary dimension)：具有独立测量单位的物 理量的量纲。有七个，传热学用四个，[L],[T],[M],[] 导出量纲(derived dimension)：由基本量纲导出的量纲 速度 m/s [L]/[T] 量纲和谐条件: 任何等式两端都有相同的量纲（量纲相同的物理量才能相加减） 3. 量纲分析 确定无量纲数的过程，就叫量纲分析。

二、Buckingham(柏金汉)定理 一个表示n个物理量间关系的量纲一致的方程式，一定可以转化成n—r个独立的无量纲数组之间的关系式，r指涉及基本量纲的数目。 以稳态，无压力梯度，对流换热为例说明。由分析知， 无量纲，则必有：

七个变量，四个方程，则有三个指数可以任选。 首先选g=1, c=d=0, 解得 a=1, b= -1, e=f=0 再选g=0, a=1, f=0, 解得 c=1, d= -1, e=-1, b=0 再选 f =1, a=g=0, 解得 e=1, b= -1, c=d=0 即得

§5-6 相似原理的应用 实验解：管内单相对流 每个变量变10次，100，106，通用，经济 §5-6 相似原理的应用 实验解：管内单相对流 每个变量变10次，100，106，通用，经济 例5-3 一换热设备的工作条件是：壁温120 ℃，加热80℃的空气，空气流速为：u=0.5m/s。采用一个全盘缩小成原设备的1/5的模型来研究它的换热情况。在模型中亦对空气加热，空气温度10℃，壁面温度30℃。试问在模型中流速u’应为多大才能保证与原设备中的换热现象相似。

解：模型与原设备中研究的是同类现象，单值性条件亦相似，所以只要已定准则Re，Pr彼此相等既可实现相似。因为空气的Pr数随温度变化不大，可以认为Pr’=Pr。于是需要保存的是Re’=Re。据此 从而 取定性温度为流体与壁温的平均值， 从附录查得： 已知l/l’=5。于是，模型中要求的流速u’为：

例5-4 用平均温度为 的空气来模拟平均温度为 的烟气的外掠管束的对流换热。模型中烟气流速 范围内变化。模型采用与实物一样的管 在 径，问模型中的空气流速应在多大范围内变化？ 解 由附录知： 的烟气的 空气的 为使模型与实物中Re数的 变化范围相同，模型中的流速应为

§5-7 内部流动强制对流换热实验关联式 一、圆管内强制对流换热 1. 层流与紊流 Re<2200层流 §5-7 内部流动强制对流换热实验关联式 一、圆管内强制对流换热 1. 层流与紊流 Re<2200层流 2200<Re<104过渡区 Re>104旺盛紊流, 在经验公式中，u常用截面平均速度 层流与紊流u的分布有所不同,前者是抛物线, 而后者的这一比值要比层流的大. 平均温度,常用截面的平均温度.进出口截面温度的平均值. 若为常物性,则 故要求tf必须知道u的分布,很麻烦,近似方法,在测温前混合.

2. 圆管内紊流强制对流换热关联式 Dittus-Boelter公式 流体被加热 流体被冷却 其中 特征尺寸：圆管内径 定性温度 适用范围 充分发展段 气体 水 油

（1）审题内容，确定类型。（2）定性温度，查取物性。 （3）计算准则，选用公式。（4）代入计算，考虑修正。 例 5-5 从 加热到 内径d=20mm，水在 管内的流速为u=2m/s，求换热系数。 已知： 求 （1）审题内容，确定类型。（2）定性温度，查取物性。 （3）计算准则，选用公式。（4）代入计算，考虑修正。 解（1）管内强制对流——用圆管内强制对流公式。 （2）定性温度：

查取物性，附录6得： （3）计算准则，选定公式。 因为是加热流体n=0.4 （4）代入公式计算，考虑修正

注：修正主要是看是否超出公式的适用范围。 故要求tw，先求 满足要求。

3. 圆管内强制对流定性分析与修正 （1）管长的影响 流体进入管中，便形成边界层，其厚度从o点处逐渐增大，直至汇合，汇合点将管流分为两段，既如口段(entrance or starting region)和充分发展段(fully developed region)。 充分发展段：沿管长截面上的速度分布不便的管段,也叫定性段。

其中 非定性段：截面上的速度分布随管长而变化的。 传热充分发展段：无量纲的温度分布与流动方向上的坐标无关。 在入口段，局部对流换热系数随流动方向而变化。如上图所示。 Laminar flow 随着流动方向而增加 Turbulent flow 开始同层流，进入紊流后 层流 紊流 入口段长度 此时入口效应可以忽略不计 紊流时，若L/d<60则须考虑入口段的影响 采用修正方法 其中

F （2）温度的影响 b>a  1≠  2  2 n值在加热冷却时不一样。 造成不同的原因是物性，更确切的说是粘性 液体 气体 以液体为例，如 无换热，在进入充分发展段后，流动分布如图curve1 。 curve2 curve3 若 若 流量不变，则粘度大的边界上的速度小，速度分布变化大，当粘度为零时，速度分布是一条直线

严格的说着两种情况是有区别的，但在温差较小时，这种差别不大，故只由n来修正即可，即Prn=(v/a)n。 但当温差较大时，就必须另行修正。对于液体，t 对 的影响大，而对其它物性影响小，故只用 修正即可。 气体，t 对，，，cP都有影响，故用 来修正。

（3）弯管修正。 流体流过弯管时会产生二次流，强化换热，要修正一下。 气体 液体 R曲率半径 例 除L=0.5m外，其它条件与例5-5相同， 当时求得h=7987 W/(m2K)。 L/d=0.5/0.02=25<60

所以要进行温度修正。 这样重复几次。

二、槽道内紊流强制对流。 前述公式对非圆截面槽道也适用。 特征尺度：de称为当量直径 (equivalent diameter)。 f 流通截面面积U流体与槽道壁接触的周长。（湿周） 套管 矩形管

三、管内层流及过渡区换热的关联式。 当Re<2200时为层流。 管槽内层流充分发展对流换热理论工作做得比较充分。

* 纯层流只有在d，t都很小时才能出现，更多的情况是在强制对流的同时，伴随有自然对流。选用公式时要注意使用条件 管槽内层流充分发展对流换热的特点 同一截面形状的通道，均匀热流的Nu比均匀壁温的Nu高 Nu与Re无关 不同截面的当量直径相同，则Nu也不相同 实际工程换热设备中，层流时常常处在入口段范围 入口段长度 l/d=0.05RePr 推荐齐德-泰特公式，马同泽公式 * 纯层流只有在d，t都很小时才能出现，更多的情况是在强制对流的同时，伴随有自然对流。选用公式时要注意使用条件 当2300<Re<10000时为过度区。t 大时，也伴随有自然对流。选用公式时要注意使用条件 公式见书

§5-8 外部流动强制对流换热实验关联式 换热面上的流动边界层和热边界层可以自由发展 不受邻近壁面的限制

1. 横掠单管换热实验关联式 flow cross a cylinder 在Re<10时，边界层不脱体。 Re<10.5×105层流,φ↑，δ↑，h↓。在φ=82o,出现附面层分离，产生回流，形成强烈扰动。 φ↑， h ↑。 在Re>1.5×105时脱体前变为湍流，h有两次增加，第一次是因为边界层由层流转变为紊流，又由于紊流作用使脱体点后移大约φ=130-140o，而后形成第二次回升。 空气 定性温度(tw+t∞)/2, 特征长度为管外径。该式对空气的实验验证范围为： 如取 可用于液体

例题5-6 在低速风洞中用电加热圆管的方法来进行空气横掠水平放置的圆管的对流换热实验。实验管置于风洞的；两个侧壁上，暴露在空气中的部分长100mm，外径为12mm。实验测得来流气温t∞=15℃，换热表面平均温度tw=125℃，功率P=40.5W 。由于换热管表面的辐射及换热管两端通过风洞侧壁的导热，估计约有 15%的功率损失掉，试计算此时对流换热的表面传热系数。 解：按牛顿冷却公式，整根换热管的平均表面换热系数为 其中 代入上式得

2. 横掠管束换热实验关联式。 电厂中一般用叉排，因为 气体横掠10排以上管束的平均 表面换热系数的关联式为 该式的定性温度 特征长度为管外径。Re中的速度为流动方向上最小截面速度 当管排小于10排时,要进行修正 修正系数由表5-8查取。 对于其他流体,见表5-9和5-10

例题5-7 在一锅炉中，烟气横掠4排管组成的顺排管束。已知管外径d=60mm，s1/d=2， s2/d=2，烟气平均温度 tf=600℃ ，tw=120℃, 烟气通道最窄处平均流速u=8m/s。 试求管束平均表面换热系数。 解：定性温度为 从附录中查取烟气的物性参数为 由式5-72及表5-6得 按表5-7，管排修正系数 于是管束的平均表面换热系数为

§5-9 自然对流换热及其实验关联式 自然对流（natural or free convection）：由于流体自身的温度 场不均匀性引起的流动，密度是运动的动力。 实例：暖器散热，冰箱散热，电子元件散热。 自然对流的特点，速度分布与强制对流不同，两端小，中间大，温度分布与强制对流相似。 一般情况下，不均匀稳度场只发生在靠近 换热面的薄层内，形成自然对流边界层。 与平板的类似，也有层流湍流之分 分类 大空间自然对流 所研究对象周围无其它物 体影响换热。只要边界层 不受干扰即为大空间。 有限空间自然对流：不满足大空间条件

一、大空间自然对流换热的实验关联式。 其中 体膨胀系数(volume coefficient of expansion) 对于理想气体 pv=RT 定性温度

例5-8 室温为10℃的大房间中有一个直径为10cm的烟囱，其竖直部分高为1 例5-8 室温为10℃的大房间中有一个直径为10cm的烟囱，其竖直部分高为1.5m，水平部分长15m。求烟囱的平均壁温为 110 ℃时，每小时的对流散热量。 解：平均温度 由附录查得，60 ℃时空气的物性 （1）烟囱竖直部分的散热

由表5-11知 （2）烟筒水平部分的散热 由表5-11知是层流 所以

二、有限空间自然对流换热的实验关联式 夹层内流体的流动，主要取决于以夹层厚度为特征长度的Gr数。 计算采用书上推荐的实验关联式

例5-9 一个竖封闭夹层，两壁由边长为0.5m的方形壁组成，两壁间距为15mm，温度分别为100 ℃，40 ℃。试计算通过此空气夹层的自然队流换热量。 解：定性温度为两壁的平均温度 从附录查得空气物性为 对于空气：

按式5-87计算，即 所以 自然对流换热量按牛顿冷却公式计算

第五章小结 数学描写 导出对流换热基本理论 1 对流换热概说 对流换热的定义及特点 影响因素 分类及研究方法 对流换热的定义及特点 影响因素 分类及研究方法 用分析方法求解对流换热问题的实质 2 对流换热问题的微分方程组的理论依据 能量微分方程的导出 二维、常物性、不可压缩牛顿型流体对流换热问题完整的 3 边界层分析及边界层微分方程组 边界层的概念 边界层特点及引入边界层概念的意义 边界层微分方程组 求解示例—流体外掠等温平壁的对流换热

4 边界层积分方程组简介 基本思想 边界层积分方程的导出 求解结果 5 相似原理 物理量相似的性质 相似准则之间的关系 判别现象相似的条件 4 边界层积分方程组简介 基本思想 边界层积分方程的导出 求解结果 5 相似原理 物理量相似的性质 相似准则之间的关系 判别现象相似的条件 获得相似准则数的方法 对流换热常用准则数及其物理意义 整理实验数据的方法

典型题分析 实验关联式及其应用 1 内部流动强制对流换热及其实验关联式 管槽内强制对流换热的特征 2 外部流动强制对流换热及其实验关联式 1 内部流动强制对流换热及其实验关联式 管槽内强制对流换热的特征 管内湍流对流换热实验关联式（通式及应用范围的扩大） 管内层流对流换热实验关联式 管内强制对流换热的强化 2 外部流动强制对流换热及其实验关联式 外掠等温平板层流对流换热 外掠单管对流换热 外掠管束对流换热 3 自然对流换热及其实验关联式 流动与换热特点 大空间和有限空间自然对流实验关联式 典型题分析