第六章 Fourier变换法
一、Fourier积分 （1）若函数是定义在(-∞,∞)上的周期为2l的周期函数， f(x)= f(x+l)， 则f(x)可以展为三角函数 b0=0
（2）复数形式的Fourier级数
（3）①若函数f(x)是奇函数，f(x)=- f(-x) （正弦级数） ②若函数f(x)是偶函数，f(x)= f(-x) （余弦级数）
2、非周期函数的Fourier积分 周期为2l的周期函数，展为Fourier级数：
对于非周期函数，可视为l→∞， 当l→∞，△k→0时，
二、Fourier变换 f(x)是原函数，F(k)是像函数。 变换： 反演： f(x)=F-1[F(k)] 例：求函数 的Fourier变换，并作出图形。
三、余弦变换和正弦变换
1、对于奇函数，f(x)=-f(-x)，A(k)=0 正弦变换
2、对于偶函数，f(x)=f(-x)，B(k)=0 余弦变换
例：研究矩形脉冲的频谱。 解：f(t)是偶函数， 展为余弦积分：
例：设f(t)=e-|t|，求F[f(t)]及f(t)的Fourier积分表达式。
五、Fourier变换的性质 1、线性性质 F[af1+bf2]=aF[f1]+bF[f2] 证明： F[af1+bf2] =aF[f1]+bF[f2]
2、相似性质 设F[f(x)]=F(k)，b≠0，则 证明： 令bx=ξ, dx=d(ξ/b) b>0时， b<0时， b=-1时，F[f(-x)]=F(-k)——翻转公式
3、延迟性质 若F[f(x)]=F(k)，x0为实常数，则 证明： 令x- x0=ξ, 则dξ=dx
4、导数的像函数（微分性质） （1）F[f'(x)]=ik[f(x)] 证明： （2）若 k=0,1,2,…,n-1, 则
5、积分性质 令 φ'(x)=f(x) F[f(x))=F[φ'(x)]=ikF[φ(x)]
6、位移性质 若F[f(x))=F(k)，则 证明：
7、卷积定理 （1）定义： （2）卷积定理： 证明：
1、已知：F[eiφ(t))=F(k)，φ(t)为实函数，证明：
2、求函数f(x)=e-αx（α>0,0≤x≤∞）的正弦积分， 并求出其变换。 解：可将函数f(x)延拓为在(-∞,∞)上的奇函数， 利用分部积分计算
3、求函数 的Fourier变换，并求此变换在ε趋近于+0时的极限。 解：f(x)是偶函数，可以展为余弦级数，
4、证明： 证明：令f(x)=e-x，将其延拓为(-∞,∞)上的偶函数， 展为余弦积分：
5、积分方程 解：将f(x)展成余弦积分：
六、δ函数 1、定义 δ(x)函数定义在(-∞,∞)上具有如下性质： （1） （2） 例如，将一电量为q的点电荷置于x0点，△x→0时， 电量集中在x0点， 所以，电荷密度ρ(x)可用δ(x)函数表示： ρ(x)=qδ(x -x0)
2、δ函数的性质 （1）对于任何一个连续函数f(x)， 证明： 当x0=0时，
（2）δ函数的Fourier变换和积分表示 当x0=0时，F[δ(x)]=1/2π
（3）δ(x)是偶函数 因为F[δ(x)]=1/2π，由相似性质得，F[δ(-x)]=1/2π， 所以，δ(x) =δ(-x) 显然也有δ(x-x0) =δ(x0-x) （4）xδ(x)=0
（5）①δ(ax)= δ(x)/|a| 证明： a=0时，成立 a≠0时， 由F[δ(x)]=1/2π和相似性质得， δ(ax)= δ(x)/|a|
② （xk是φ(x)=0的根） （在[xn-ε, xn+ε]内只有一个零点xn） φ'(x)=dφ(x)/dx=>dx= dφ(x)/ φ'(x) （ξ∈[xn-ε, xn+ε]）
（ξ∈[xn-ε, xn+ε]） 令ε→0，则ξ→xn 当φ′(x)<0时， φ(xn+ε)< φ(xn-ε) 当φ′(x)>0时， φ(xn+ε)> φ(xn-ε) cn=-1/φ'(x)=- 1/|φ'(x)| cn=1/φ'(x)= 1/|φ'(x)| 综上，cn= 1/|φ'(x)|
特例： ①φ(x)=ax时，δ(ax)= δ(x)/|a|； ②φ(x)=x2-a2时， ③φ(x)=x2时，
（6）δ函数的导数 ①定义： （f(x)为具有连续导数的函数） 证明： 更一般地，
七、单位跃阶函数的Fourier变换 证明：
八、Fourier变换法 （一）波动问题 1、无界弦的自由振动 （1）作Fourier变换 设 则
（2）求
利用导数性质和延迟定理 设 即
（3）Fourier反演求u(x,t)