14.6 方向导数和梯度

一、方向导数 在许多实际问题中，常常需要知道函数 （或函数 ）在一点 沿任何方向或某个方向的变化率.例如,设 表示某物体内点 的温度,那么这物体的热传导就依赖于温度沿各方向下降的速度(速率);又如,要预报某地的风向和风力,就必须知道气压在该处沿某些方向的变化率.为此,要引进多元函数在一点 沿一给定方向导数的概念. 这里以三各变量的函数 为例.设 为一给定点, 是从 点出发的射线,它的方向向量用 来表示.设 是射线 上的任一点, 的坐标为

其中 是 的方向余弦, 是线段 的长度,在 这段长度内,函数 的平均变化率为 令 沿 趋于 ,这时如果 存在,则称此极限为 在 点沿 的方向导数,记为 或 例1 设 向量 的方向余弦是

于是沿 方向的平均变化率为 下面我们给出方向导数的计算公式. 定理 如果函数 在一点 可微,则 在 点沿任何方向 的方向导数都存在,并由以下的求导公式 其中 是 的方向余弦. 例2 对 求 在点 沿方向 的方向导数.

二、梯度 1.物理量的等量面(等量线) 我们在研究一个物理量 在某一区域的分布时,常常需要考察这区域中由相同物理量的点,也就是使 取相同数值的各点 其中 是常数.这个方程在几何上表示曲面,我们称它为等量面.当 取不同数值时,所得到的等量面也不同.如气象学中的等温面和等压面,电学中的等势面等等. 同样,对于含两个自变量的物理量则有等量线.例如在船体设计中用平行于基线面的平面将船体切割,它的截口曲线称为水线.在同一条水线上,其高度势相同的,

因此这些水线就势等量线. 在船体设计中, 用它们来表示船体线型在纵向的变化趋势. 此外, 在地图上常常利用等高线来表示地面上的高低起伏, 在气象图上用等温线来表示地面上气温变化等等,这些都是等量线. 2、梯度 现在从等量面(或等量线)出发, 引出一个具有重要意义的向量函数. 我们以气象预报中地面上的等压线为例. 在方向 气压从 点的 (毫巴)过渡到气压为 的点 距离是 它比沿方向 从 变到气压为 的点 的距离 小 .所以按距离而言,气压沿

方向的平均增长率大于沿 的平均增长率. 显然, 如果在一个方向上的等压线密集, 气压的变化率越大 方向的平均增长率大于沿 的平均增长率. 显然, 如果在一个方向上的等压线密集, 气压的变化率越大 . 可见, 在 点沿不同的方向, 其变化率将有所不同. 现在再作一般的讨论. 设 是一数量函数, 等量面为 ，设 是等量面上的任一点, 它的法线向量为 其中 分别是三个偏导数在 点的数值. 称这个向量为数量函数 在 点的梯度, 记为 ( 是 的缩写), 即从数量函数 引出一个向量函数 它的长度记为

这样引进的梯度概念有什么意义呢. 下面将说明:(1)梯度的方向是函数 增长最快的方向; (2)梯度的模就是函数 沿这一方向的变化率 这样引进的梯度概念有什么意义呢?下面将说明:(1)梯度的方向是函数 增长最快的方向; (2)梯度的模就是函数 沿这一方向的变化率. 现在分析如下: 设 的方向余弦是 这时 沿 的方向导数是 令 是 方向的单位向量 于是

这里 表示向量 与 余角的余弦. 由此可以看出, 在 点沿一切不同方向的方向导数中, 当 与梯度的方向一致时, 从而 有最大量, 所以沿梯度方向的方向导数达到最大; 就是说, 的方向, 函数 在这个方向上变化率最大, 而且这个变化率就等于梯度的模 同样可以看出, 沿梯度的反方向, 即 的反向, 函数 减少最快. 由于数量函数所表示的物理意义是由点的函数来描写的, 在不同坐标下, 同一点的函数值应该不变, 这表示数量函数与坐标系的选取无关. 从而由此产生的等量面、数量函数 的梯度以及它的最大变化率 等等, 也都与坐标系的选择无关. 综上所述, 是这样一个向量函数, 它是由数

量函数 产生的, 在每一点 处的梯度方向与过 点等量面 在这点的法线方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 梯度的模等于函数 沿法线方向的方向导数. 如以 表示等量面的一个单位法向量, 它指向 的数值增大的方向, 而以 表示函数 沿这法线的方向导数, 则有 这是因为任何向量 可以用这向量的单位向量 表示出来 以下是关于梯度的基本运算法则: 两个函数代数和的梯度, 等于各函数梯度的代数和,

即 (2) 两个函数乘积的梯度 这两个法则从梯度的各个分量的表示立即可以证明. 再由求复合函数的偏导数法则, 又可得 (3) 复合函数的梯度 例3 设 求 在点 的梯度. 例4 设在平面上的原点处有一单位正电荷, 在真实中产生一个静电场, 在平面上任意一点 (不等于原点)处, 其电位 为?