微积分基本定理 2017/9/9
知识回顾： 微积分在几何上有两个基本问题 1.如何确定曲线上一点处切线的斜率； 2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。 曲线？ o y x x y 直线 曲线？ 几条线段连成的折线 2017/9/9
用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程： 分割 以直代曲 作和 逼近 2017/9/9
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度⊿x (2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替. y=f(x) x y O b a (3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值： (4)逼近:所求曲边梯形的面积S为 xi-1 xi xi 2017/9/9
定积分的定义: 一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和 如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作: . 2017/9/9
问题情景 由定积分的定义可以计算 , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢? 由定积分的定义可以计算 , 但比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的方法求定积分呢? (分割---以直代曲----求和------逼近) 2017/9/9
对于一般函数 ，设 是否也有 我们就找到了用 的原函数 若上式成立， ）的数值差 （即满足 在 上的定积分的方法。 来计算 2017/9/9
牛顿—莱布尼茨公式 定理 （微积分基本定理） 记: 则: f(x)是F(x)的导函数 F(x) 是f(x)的原函数 2017/9/9
例1:计算下列定积分 找出f(x)的原函数是关健 解:(1)取 解:(2)取 2017/9/9
解:(3)∵ 2017/9/9
2017/9/9
例2:计算下列定积分 2017/9/9
例2:计算下列定积分 2017/9/9
2017/9/9
练习： 2017/9/9
练习： 2017/9/9
练习： 2017/9/9
小结 微积分基本公式 牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 2017/9/9