第四章 流体动力学基础 4.1系统和控制体，雷诺输运定理 4.2对控制体的流体力学积分方程 4.3微分形式的连续方程 4.4粘性流体中的应力 4.5微分形式的动量方程

动力学三大方程 质量守恒 动量守恒 能量守恒 推广到流体中 连续方程 能量方程 动量方程 三大守恒定律

在流体力学中，系统，也称体系，是指某一确定流体质点集合的总体。 4.1系统和控制体，雷诺输运定理 理论力学 质点、质点系和刚体 研究对象 工程热力学 闭口系统或开口系统 均以确定不变的物质集合作为研究对象！ （1）系统 在流体力学中，系统，也称体系，是指某一确定流体质点集合的总体。 系统随流体运动而运动，其边界把系统和外界分开，系统边界的形状和所包围的空间大小随运动而变化。在系统的边界上，没有流体流入或流出，即系统与外界没有质量交换，始终由同一些流体质点组成。但可以通过边界与边界发生力的作用和能量的交换。

系 统 拉格朗日观点 多数流体力学实际问题中，对个别流体质点或流体团的运动及其属性并不关心，而更关心流体对流场中的物体或空间中某体积的作用和影响。 应采用欧拉观点处理上述问题！

（2）控制体 控制体是指流场中某一确定的空间区域。 控制体的边界称为控制面，控制面上可以有质量交换，即有流体流进或流出，因此占据控制体的流体质点是随时间而变化的。

注意：通常物理定律适用于系统！ 如，高中物理中多刚体碰撞问题的求解…… 如何在欧拉观点中应用物理定律 雷诺输运定理

下面以动量为例具体说明： 动量定理： F——外界对系统的作用的合力； k——系统的动量。 流体力学系统中， ——系统所占据的体积。 由于系统不断改变其位置、形状和大小，组成系统的流体质点的密度和速度随时间而改变，所有动量也在不断改变，求动量随时间的变化率也就是求一个系统体积分的物质导数。 问题解决的关键！

如何用欧拉变量表达式来表示对系统体积分的物质导数？ 回忆：物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。 流体质点的物质导数的欧拉变量表达式： = + 如何用欧拉变量表达式来表示对系统体积分的物质导数？ 借助雷诺输运定理

雷诺输运定理的推导： 图示的有限大小的控制体V，表面积为A,同时把这个控制体取为t时刻的体系，即Ⅰ和Ⅱ两块。 t+△t时刻，体系移动到了新位置，即为图中的Ⅰ和Ⅱ两块组成，而控制体依然在原位。令N表示流体输运的该体系中的 物理量（比如质量，动量， 能量），η表示单位体积 流体所具有的该物理量， 则N=

体系中的该物理量的时间变化率为 第一项就是控制体内的当地时间变化率

第二项是△t时间内，流体通过控制面随着流体流出而带出去的相应物理量除以△t，求极限后，为

结果，为 可以表明这些项的物理含义： 控制体内 输出控制体 输入控制体 物理量的 的流通量 的流通量 变化率

把后两个积分式子合并，由于 Reynolds输运定理表明，某个瞬间时刻，以某个控制体作为体系的系统中，某物理量的总量，其随流导数等于控制体内的该总量的当地时间变化率，加上从控制面上净输出的该物理量的通量。 注意：在本教材中用CV表示控制体，CS表示控制面。雷诺输运定理简写为 n为控制面外法线方向

雷诺输运定理提供了系统的物质导数和定义在控制体上的物理量变化之间的联系。 注意：定理推导中，所选控制体和系统在初始瞬时相重合，且控制体的位置、大小、形状固定不变； ——定义在系统上的变量N对时间的变化率。 ——定义在控制体上的变量N对时间的变化 率，该项是由分布函数不定常引起。 ——变量N流出控制体的净流率，该项由于 分布函数不均匀性及系统的空间位置 和体积随时间变化引起。

4.2对控制体的流体力学积分方程 由流体系统满足质量守恒得， 将雷诺输运方程中的分布函数替换为流体密度，则 （1）积分形式的连续方程 连续方程的本质是体系中的质量守恒在控制体中的表现。该方程在流体力学中称为连续方程或者质量方程。 由流体系统满足质量守恒得， 将雷诺输运方程中的分布函数替换为流体密度，则 系统质量变化率 控制体内质量变化率 流出控制体的质量流率

可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！   单位时间内控制体内流体质量的增加量与流出控制体的流体质量之和等于零。 ★对于均质不可压流体： 则 连续方程简化为： 可适用于均质不可压流体的定常及非定常流动！

★如果流体仅在控制体的有限个区域流入及流出： ★对于定常流动： 连续方程简化为： 可适用于可压、不可压流体的定常流动！ ★如果流体仅在控制体的有限个区域流入及流出： 注意：流体流出控制体为正，流入为负！

动量方程的本质是体系（系统）中的动量定理（惯性参考系中）在控制体上的表现。 （2）积分形式的动量方程 动量方程的本质是体系（系统）中的动量定理（惯性参考系中）在控制体上的表现。 由流体系统的动量定理得， 其中， ——系统所占据的体积。 ——系统所受合力。

将雷诺输运定理应用于流体系统的动量定理公式中： 即将分布函数替换为 。 系统动量变化率 控制体内动量变化率 流出控制体的净动量流率 系统所受合外力 注意：由于应用雷诺输运定理中所选控制体和系统在初始时刻相重合，作用在系统上的外力也可认为作用于控制体上，即

上述动量定量积分公式在直角坐标系下的分量形式： 注意：外力的各分量、以及各速度分量均有正、负，其取决于坐标轴方向的选择！ 矢量点积 也存在正负之分，流出为正，流入为负。

对于不可压缩流体定常流动，动量方程简化为： 对于仅有有限个流入、流出口的不可压缩流体定常总流流动，动量方程简化为：

注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横界面压力的计算。 动量方程的应用步骤 选取适当的过流断面与控制体 控制体应包括动量发生的全部流段，即应对总流取控制体；控制体的两端断面要紧接所要分析的流段；控制体的边界一般沿流向由固体边壁、自由液面组成，垂直于流向则由过流断面组成。 建立适当的坐标系 投影轴可任意选取，以计算方便为宜。 分析系统（控制体）的受力情况 注意：不要遗漏，并以正负号表明力的方向；横界面压力的计算。 分析控制体动量变化，列动量方程 注意速度、流率的正、负 结合使用连续性方程及柏努利方程等求解

[例]管道弯头的受力 一个渐缩弯管，求流体对管壁的作用力R（不计流动阻力）。设弯管水平放置， 及 已知。

[解]取图示的虚线为控制体，建立坐标系。 根据题意，流动是定常的，且由于弯管水平放置，所以不计重力。设管壁对流体的反作用力为，沿坐标轴建立动量方程，有： X方向： Y方向： 化简得 根据反作用力原理，流体对管壁的作用力为：

必须注意，如果要考虑弯管的受力，因为弯管放置在大气中，所以管外侧受到大气压的作用。此时弯管所受到的作用力F（分解成 和 ）为 X方向 Y方向 其中，使用了下列等式 注意：若求解所取流体系统对壁面的作用力，则取绝对压强，若求管（板）的受力，则选择表压强！

[例子2]水流冲击斜板的力 一股射流冲击板面，如图所示，已知流动定常，入射流股的速度为 ，流量 ，斜板倾角为 。设各流股在垂直于纸面的方向的厚度为1，不计重力及阻力作用，求流体对斜板的冲击总作用力 和分流流量 ， （假定 = = ） [解]取截面0，1，2之间的射流表面所围区域为控制体。设板对流体的作用力为 ，则流体对板的作用力为

因为忽略摩擦作用，所以作用力与板面垂直。 除了板面外，控制面其余部分作用着大气压 。 设板长 ，建立坐标系如图。根据动量定理： x方向上： 这里 是作用在除了板面外的大气压的合力。 y方向上： 这里，1截面的动量虽为输出的，但是其方向 与y正方向相反。

结合上面两式，得到 所以流体对板的作用力 ，方向沿x正方向。 如果要考虑板背面也受到大气压的作用，则 流体对板的作用力应该是：

射流的反推力 设有内装液体的容器，在其侧壁上 开一面积为A 的小孔，液体从小孔 泻出，如图设流量很小，可视为正 常流动，即出流的速度： 又设容器给液体的作用力在x轴 的投影为FX 即： 如果容器能够沿x轴自由移动，则 由于RX 的作用，使容器反方向运 动，这就是射流的反推力

动量矩方程的本质是体系（系统）中的动量矩定理（惯性参考系中）在控制体上的表现。 （3）积分形式的动量矩方程 动量矩方程的本质是体系（系统）中的动量矩定理（惯性参考系中）在控制体上的表现。 由流体系统的动量矩定理得， 其中， ——系统所占据的体积。 ——系统所受合力。

将雷诺输运定理应用于流体系统的动量矩定理公式中： 即将分布函数替换为 。 系统动量矩变化率 控制体内动量矩变化率 流出控制体的净动量矩流率 系统所受合外力矩 注意：由于应用雷诺输运定理中所选控制体和系统在初始时刻相重合，作用在系统上的外力矩也可认为作用于控制体上，即

对于静止的控制体： 作为近似，忽略表面力和对称质量力所产生的力矩，则定常流动的动量矩方程简化为： 对应旋转流体机械，动量矩方程沿转轴方向有以下标量形式： ——进、出口的质量流量。 ——流体进、出口截面处沿叶轮切向的分量。 —— 至转轴的距离。

——与叶轮转动方向相同时为正，反之为负。 ——与叶轮转动方向相同时为正，反之为负。泵、鼓风机、风扇等等向流体注入能量的原动机 为正，而涡轮机等从流体吸收能力的流体机械 为负。 传递功率： 增加的能量头：

能量方程的本质是体系（系统）中的能量守恒定理（惯性参考系中）在控制体上的表现。 （4）积分形式的能量方程 能量方程的本质是体系（系统）中的能量守恒定理（惯性参考系中）在控制体上的表现。 由流体系统的能量守恒定理得， 了解！ 其中， ——单位质量流体所具有的能量。 ——外界和系统间传递的热量流率（向系统传热为正）。 ——外界与系统间做功功率（对系统做功为正）。

在应用前面学习的积分形式的连续方程、定量方程、动量矩方程、能量方程解决工程问题时，不需要知道各物理量在控制体内的分布，只需要知道控制体界面上速度、压强、焓等参数的数值，即可获得有关物体的受力及力矩。但却无法获得流场内部的细节。 为此需要发展针对空间某一点，或者某一微元控制体（与积分形式方程中控制体不同）的微分形式流体力学方程！

微分形式流体力学方程的推导过程： 可参考雷诺输运定理的推导过程 选取适当的微元控制体 在流场内取一固定不动的平行六面体微元控制体，并建立合适的坐标系。 分析系统（微元控制体）的流动、受力等情况 分析包括控制体内的物理量变化及受力，控制面上流入、流出的物理量流率以及受力等，并注意各物理量的正负号。 列出守恒方程 如质量守恒方程、动量定理方程及能量守恒方程等。 整理、简化

4.3微分形式的连续方程 微元控制体： 微元控制体内流体质量增长率： X方向两界面间的质量流率： y方向两界面间的质量流率：

控制体内流体质量增长率＋通过界面流出控制体的质量流量＝0 由雷诺输运定理及质量守恒定理： 控制体内流体质量增长率＋通过界面流出控制体的质量流量＝0 定常及非定常 可压及不可压 可变形为

对应定常密度场 ： 对应不可压流体 ： 适用于可压及不可压 适用于定常及非定常 欧拉观点：表示流出单位体积控制体的流体体积流量； 对应定常密度场 ： 适用于可压及不可压 对应不可压流体 ： 适用于定常及非定常 欧拉观点：表示流出单位体积控制体的流体体积流量； 拉格朗日观点：单位体积流体微团的膨胀率；

N－S 方程 欧拉方程 静止流体平 衡微分方程 四.流体动力学定解问题和解法概述 粘性 静止 四.流体动力学定解问题和解法概述 基本微分方程组 微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是解流速场和压力场的理论基础。四个方程渴求四个未知量：p 和 u ，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的。解析求解非常困难。

本章作业 4－2，4－5，4－6，4－9 4－13，4－14，4－25，4－33