复习 定积分的实质： 特殊和式的极限 2. 定积分的思想和方法 分割，近似， 求和，取极限 3. 定积分的性质 2. 定积分的思想和方法 分割，近似， 求和，取极限 3. 定积分的性质 注意估值性质、积分中值定理的应用 典型问题 (1) 估计积分值 (2) 不计算积分而比较积分的大小。
第二节 微积分的基本公式 一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式
一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.
二、积分上限的函数及其导数 设 在 上可积， 则 在 上也可积. 对于每一个给定的 有一个对应值. 记作： 从而 在 定义了一个函数. 设 在 上可积， 则 在 上也可积. 对于每一个给定的 有一个对应值. 从而 在 定义了一个函数. 记作： 上限变量 为了避免混淆，记作： 积分变量
定理1 如果 在 上连续，则积分上限的函数 在 上可导，且它的导数为： 证 积分中值定理
定理1 初步揭示了定积分与原函数的关系 定理1 把微分和积分联结为一个有机的整体 因此被称为微积分学的基本定理. 由定理1 可知： 连续函数 一定有原函数. 就是 在 上的一个原函数. 积分上限函数 定理2 如果 在 上连续，则
推论： 如果 在 上连续， 可导，则 的导数 为 证明： 设 令 则 同理 易见结论成立.
练习：求下列导数
例1：设 在 内连续，且 证明 函数 在 内为单调连续函数. 证
又 在 内为单调增加函数.
例2. 设 在 上连续，且 证明 在 上只有一个解. 证 令 则 在 上为单调增加函数. 由于 在 上连续, 在 上连续. 故 又 故 在 上只有一个解.
例3. 求 分析：这是 型未定式，含有积分上限的函数， 用洛必达法则！ 解
例4. 已知两曲线 与 在点 处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 解 由已知条件， 故切线方程为
三、牛顿—莱布尼茨公式 定理 3（牛顿—莱布尼茨公式） 如果 是连续函数 在区间 上的一个原 函数, 则有 证 由于 是 的一个原函数； 如果 是连续函数 在区间 上的一个原 函数, 则有 证 由于 是 的一个原函数； 也是 的一个原函数
令 从而 也即： 令 牛顿—莱布尼茨公式 －－微积分基本公式
微积分基本公式表明： 一个连续函数在区间 上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间 上的增量． 求定积分问题转化为求原函数的问题. 当 时， 仍然成立 注意
例4. 求 解 例5. 求 解 原式
例6. 设 求 . 解 在 上规定： 当 时， 原式
例7. 求 解 原式
例8. 计算曲线 在 上与 轴所围成 的平面图形的面积. 面积 解 问题：曲线 在 上与 轴所围成的 平面图形的面积.
例9. 设 计算 解 当 时， 当 时，
例10. 求 解 原式=
例10. 求 解法二 原式=
例11. 求 解： ?
内容小结 1. 积分上限函数 2. 积分上限函数的导数 3. 牛顿-莱布尼茨公式： 沟通了微分学与积分学之间的联系．
作 业 P243 3, 4, 5(3), 6(8, 11, 12), 9(2), 11-14 作业提交时间：2012年12月24日上午8:00AM
备 用 题
1. 设 求 设 解： 则
2. 设 证明: 当 时， 证： 所以
3. 设确定常数 a , b , c 的值, 使 解: 当 时， 原式 =