第二节 微积分基本公式 一, 引例 前面我们已经研究了定积分的定义,利用定义求定积分很不方便 本讲介绍计前算定积分的方法。 第二节 微积分基本公式 前面我们已经研究了定积分的定义,利用定义求定积分很不方便 本讲介绍计前算定积分的方法。 一, 引例 考察变速运动中路程函数s(t)与其导数--速度函数v(t)之间的关系物体在时间区间[t0,T]经过的路程,可以用 表示
具体的做法是把路程函数s(t)在[t0,T]之间分成n小段,在每一小段中用v(τi)△t表示,它们的和就是整个路程 具体的做法是把路程函数s(t)在[t0,T]之间分成n小段,在每一小段中用v(τi)△t表示,它们的和就是整个路程.当△t→0时的极限得到变速运动的路程 另一方面,这段路程又可以通过路程函数s(t)在区间[t0,T]上的增量S(T)-S(t0)来计算,S = S(T) - S(t0) 于是
而S’(t)=v(t),(1)式表明:速度函数在区间[t0,T]上的定积分等于它的原函数S(t)在[t0,T]上的增量△S=S(T)-S(t0) 我们在(1)式中得到 (1)式把定积分和被积函数的原函数相互联系起来,如果是这样,那我们求定积分可以借助不定积分求出来.问题就显然得到解决.这个方法由牛顿和莱布尼茨 两人独立完成的,我们称为牛顿-莱布尼茨公式(它的证明在第3部分中.)
二 积分上限的函数及其导数 为了更好的研究牛顿-莱布尼茨公式,我们引入“积分上限的函数”这个概念 二 积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b ]上连续,且x∈[a,b],则f(x)在部分区间[a,x]上也连续,从而可积,定积分的字母无关) (定积分同它自变量) 存在,当x在区间[a,b]内变动时,则每一个x值对应 的一个值
所以 在区间[a,b]上定义一个函数 这个函数是积分上限x的函数,称为变上限积分的函数. 定理1 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则变上限积分的函数在[a,b]上可微,且它的导数 变上限积分的函数是被积函数的一个原函数
这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身 这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数.因此,这里引出定理2 定理2 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 这定理的重要意义是:一肯定了连续函数的原函数是存在的.二.它初步揭开定积分和原函数之间的联系,我们可以用原函数来计算定积分
这里我们补充定理1的3个推理
例1 求下列导数 例3 求极限 当x →0时,为0/0型.用罗必塔法则
其中,当x→0时,sinx →x,arctgx →x 三 微积分基本公式--牛顿-莱布尼茨公式 Newton-Leibniz 设F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则
证明: 根据定理1我们得到 此定理表明:在某区间[a,b]上,连续函数f(x)的定积分等于它的任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求定积分的问题化为求原函数或计算不定积分,这是计算定积分的主要方法. 我们称为微积分的基本公式.
例4 例5 例6 计算 分析:计算被积函数有绝对值时,可将被积函数化为分段函数再积分.
例7 求极限
分析: 求这类和式的极限,可将其转化为积分和的极限,再用定积分计算.记原式为 将区间[0,1]作n等分,则1/n=△xi (i=1,2,3...n),这时n→∞相当于λ=△xi→0;取ξ=i/n为每个小区间△xi的右端点;由于函数1/(1+x2)在区间[0,1]上连续,从而可积,于是积分 与分法及取法无关,可用上述分法与取法,这样一 来,原式
例8 计算 1.∫cosxdx. 2.∫0π/2 cosxdx. 3.∫0x cosxdx,并由此说明 不定积分,定积分,变上限定积分三者之间的关系. 解:
例9 下列计算是否正确?若有错请改正. 分析:不定积分.∫cosxdx表示cosx的原函数的全体. 定积分表示一个数,它是cosx的任一个原函数在x=π/2和x=0两处函数值的差. 变上限定积分是上限变量x的函数,也是cosx的一个原函数. 若记变上限定积分为Φ(x),那么定积分的值就是Φ(x)在x= π/2处的函数值.三者之间有差别又有联系. 例9 下列计算是否正确?若有错请改正.
分析:(1)是正确的.因为被积函数 在整个数轴上都是连续的,故变上限定积分对上限变量x求导数,就等于被积函数在上限变量x处的值.(2)是错误的.这里的上限为x2.因此必须利用复合函数求导公式
(3)是错误的.这里的t是积分变量,x是上限变量.而被积函数中含有x上面的计算把x看成常数,错误就在这里.正确的做法是