2.2.1 对数与对数运算 第一课时 对 数

名人名言 恩格斯说，对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是17世纪数学史上的3大成就。 伽利略说，给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙。 布里格斯（常用对数表的发明者）说，对数的发明，延长了天文学家的寿命。

思考1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，到哪一年我国的人口数将达到18亿？ 问题提出 思考1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，到哪一年我国的人口数将达到18亿？ 13× (1＋1％)x＝18，求x=? 思考2.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？ 已知底数和幂的值，求指数.

对数

思考3:满足2x＝3的x的值，我们用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数” 思考3:满足2x＝3的x的值，我们用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x＝16，2x＝ ，的x的值可分别怎样表示？ 思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做什么？怎样表示？ x＝logaN

思考5:前面问题中， , 中的x的值可分别怎样表示？

例1.将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式： (1) 54＝625 ; (2) 2－6＝ ; 理论迁移 例1.将下列指数式化为对数式，对数式 化为指数式： (1) 54＝625 ; (2) 2－6＝ ; (3) ( )m＝5.73 ; (4) ＝－４; (5) lg0.01=－２; (6) ln10＝2.303.

例2.求下列各式中ｘ的值： (1)log64x＝　 ; (2) logx8＝6 ; (3)lg100=x; (4)－lne2＝ｘ .

作业： P６４练习:　1,２,３,４. P７４习题2.２A组：1,２.

2.2.1 对数与对数运算 第二课时 对数的运算

2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？ 问题提出 1.对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？ 2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？

对数的运算

思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？ 知识探究（一）：积与商的对数 思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？ 思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？

思考4:将log232－log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？ 思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…， Mn均大于0，则loga(M1M2M3…Mn）＝？

思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？ 知识探究（二）:幂的对数 思考1:log23与log281有什么关系？ 思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？ 思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立． 思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立吗？

思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则 等于什么？ 思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？ ①两数积的对数，等于各数的对数的和； ②两数商的对数，等于被除数的对数减去 除数的对数； ③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．

例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式： ; (2) . 理论迁移 例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式： ; (2) .

例2 求下列各式的值： (1) log2（47×25）； (2) lg ； (3) log318 -log32 ； (4) .

例3 计算：

小结作业: 性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是—个降级运算. 性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算. 性质③从左往右仍然是降级运算． 利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值.

作业： P68练习：1, 2，3. P74习题2.2A组：3,4,5.

2.2.1 对数与对数运算 第三课时 换底公式及对数运算的应用

问题提出 1.对数运算有哪三条基本性质？ （1） （2） （3） 2.对数运算有哪三个常用结论？ . （1） ; （2） ; （3） .

3.同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？ 　4.由 得 ，但这只 是一种表示，如何求得x的值？

换底公式及对数 运算的应用

知识探究（一）：对数的换底公式 思考1:假设 ，则 ，从而有 .进一步可得到什么结论？ 思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？

思考3:一般地，如果a>0，且a≠1； c>0，且c≠1；b>0，那么 与哪个对数相等？如何证明这个结论？ 思考4:我们把 （a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）叫做对数换底公式，该公式有什么特征？

思考5:通过查表可得任何一个正数的常用 对数，利用换底公式如何求 的值？ 思考6:换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？

知识探究（二）：换底公式的变式 思考1: 与 有什么关系？ 思考2: 与 有什么关系？ 思考3: 可变形为什么？

理论迁移 例1 计算： (1) 　　 ; (2)（log2125＋log425＋log85)· （log52＋log254＋log1258）

作业： P68 练习：4. P74 习题2.2A组： 6，11，12.

2.2.1 对数与对数运算 第四课时 对数运算习题课

知识回顾 1.指数与对数的换算: 2.对数运算的三个常用结论: .

3.对数运算的三条基本性质: 4.对数换底公式:

理论迁移 例1 求下列各式的值: 2 -2 1

例2 已知 ，求 的值. 例3 设 ，已知 , 求 的值.

例4 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； 4.3

20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越 20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）. 398

例5 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代. 2193 思考题:设函数 已知 且对一切 恒成立，求 的最小值.

2.2.2 对数函数及其性质 第一课时 对数函数的概念与图象

1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式. 问题提出 1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式. 2. （x>0）是函数吗？若 是，这是什么类型的函数？

对数函数的概念与图象

思考1:在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的 ，则要漂洗几次？ 知识探究（一）：对数函数的概念 思考1:在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的 ，则要漂洗几次？ 思考2:在关系式 中，取 对应的y的值存在吗？怎样计算？ 思考3:函数 称为对数函数， 一般地，什么叫对数函数？

思考4:为什么在对数函数中要求a＞0， 且a≠l？ 思考5:对数函数的定义域、值域分别是什么？ 思考6:函数 与 相同吗？为什么？

思考1:研究对数函数的基本特性应先研究其图象.你有什么方法作对数函数的图象？ 知识探究（二）：对数函数的图象 思考1:研究对数函数的基本特性应先研究其图象.你有什么方法作对数函数的图象？ 思考2:设点P(m，n)为对数函数 图象上任意一点，则 ，从而有 .由此可知点Q（n，m）在哪个函数的图象上？

思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的位置关系？由此说明对数函数 的图象与指数函数 的图象有怎样的位置关系？ x y o P

思考4:一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致形状如何？ 0<a<1 x y 1 y x 1 a>1 思考5:函数 与 的图象分别如何？

例1 求下列函数的定义域： (1) y＝log0.5|x+1| ; (2) y＝log2(4－x) ; (3) . 例2 已知函数 , 求函 理论迁移 例1 求下列函数的定义域： (1) y＝log0.5|x+1| ; (2) y＝log2(4－x) ; (3) . 例2 已知函数 , 求函 数f(x)的定义域，并确定其奇偶性.

作业： P73 练习： 2 P74 习题2.2A组：9，10.

2.2.2 对数函数及其性质 第二课时 对数函数的性质

问题提出 1.什么是对数函数？其大致图象如何？ 2.由对数函数的图象可得到哪些基本性质？ 对数函数的性质

思考1:函数图象分布在哪些象限？与y轴的相对位置关系如何？ 知识探究（一）：函数 的性质 思考1:函数图象分布在哪些象限？与y轴的相对位置关系如何？ x y 1 思考2:由此可知函数的定义域、值域分别是什么？ 思考3:函数图象的升降情况如何？由此说明什么性质？

思考4:图象在x轴上、下两侧的分布情况如何？由此说明函数值有那些变化？ y 1 y x 1 思考5:若 ，则函数 与 的图象的相对位置关系如何？

思考2:若 ，则函数 与 的图象的相对位置关系如何？ 知识探究（二）:函数 的性质 思考1:函数的定义域、值域、单调性、函数值分布分别如何？ 知识探究（二）:函数 的性质 思考1:函数的定义域、值域、单调性、函数值分布分别如何？ x y 1 x y 1 思考2:若 ，则函数 与 的图象的相对位置关系如何？

思考3:对数函数具有奇偶性吗？ 思考4:对数函数存在最大值和最小值吗？ 思考5:设 ，若 ，则 m与n的大小关系如何？若 ， 则m与n的大小关系如何？

（3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1); （4）log75，log67. 理论迁移 例1 比较下列各组数中的两个值的大小： （1）log23.4，log28.5 ； （2）log0.31.8，log0.32.7； （3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1); （4）log75，log67.

例2 求下列函数的定义域、值域： (1) y＝ ； (2) y＝log2(x2＋2x＋5).

例3 溶液酸碱度的测量: 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为pH＝－lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升. （1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； （2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+＝10－7摩尔／升，计算纯净水的pH.

作业： P73 练习：3 P74 习题2.2B组：1， 2，3.

2.2.2 对数函数及其性质 第三课时 指、对数函数与反函数

问题提出 设a＞0，且a≠1为常数， .若以t为自变量可得指数函数y＝ax，若以s为自变量可得对数函数y＝logax. 这两个函数之间的关系如何进一步进行数学解释？

指、对数函数与反函数

思考3:我们把具有上述特征的两个函数互称为反函数，那么函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？ 知识探究（一）：反函数的概念 思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动，分别以位移s和时间t为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 思考2:设 ，分别x、y为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？ 思考3:我们把具有上述特征的两个函数互称为反函数，那么函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是什么？函数 的反函数是什么？

思考4:在函数y＝x2中，若将y作自变量，那么x与y的对应关系是函数吗？为什么？ 思考5:一个函数在其对应形式上有一对一和多对一两种，那么在哪种对应下的函数才存在反函数？

思考1:当a>1时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？ 知识探究(二): 指、对数函数的比较分析 思考1:当a>1时，指、对数函数的图象和性质如下表：你能发现这两个函数有什么内在联系吗？

y=ax (a>1) y=logax(a>1) 图象 定义域 值域 性质 1 y x 1 R R 当x>0时y>1； 当x<0时0<y<1； 当x=0时y=1； 在R上是增函数. 当x>1时y>0； 当0<x<1时y<0； 当x=1时y=0； 在R上是增函数.

思考2:一般地，原函数与反函数的定义域、值域有什么关系？函数图象之间有什么关系？单调性有什么关系？ 思考3:函数y = 1-x , 的反函数 分别是什么？由此推测：如果函数y=f(x)的图象关于直线y= x对称，则 函数f(x)与其反函数有什么关系？

例1 求下列函数的反函数： （1）y＝3x－1 ； （2）y＝ ＋1 （x≥0）； （3） ；(4) . 例2 已知函数 . 理论迁移 例1 求下列函数的反函数： （1）y＝3x－1 ； （2）y＝ ＋1 （x≥0）； （3） ；(4) . 例2 已知函数 . （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.

例3 若点P（1，2）同时在函数y＝ 及其反函数的图象上，求a、b 的值.

作业： P75 习题2.2B组:4，5.