数学史教程 －－李文林 第七章 分析时代--01 主 讲 人　 孙利

一、分析时代---微积分的进一步发展 微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor,1685-1731）、麦克劳林（C.Maclaurin，1698-1746）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J. Stirling）等。

微积分的继续发展

17世纪由牛顿与莱布尼兹创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具。此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引。尽管微积分兴起的初期还存在着一些逻辑上的缺陷，但大部分数学家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前的去开辟新的园地，如伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、雅格布·伯努利等人。从18世纪到19世纪上半叶的数学发展，可以说是围绕这些天才大师展开的。经过这些数学家的努力，在微积分的基础上又产生了一些新的数学分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分方程、变分法、泛函分析等等，这些学科的总称也常常叫做数学分析。

泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》；泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。 泰勒展开式 是泰勒1715年发表的．当时他没有考虑到收敛性，也没有引起多大注意．一直等到1755年，由欧拉和拉格朗日应用于自己的工作之后，泰勒级数的重要性才被确认．

麦克劳林展开式：泰勒展开式 麦克劳林是一位数学上的奇才，他十一岁就考上了格拉斯哥大学．十五岁取得了硕士学位．十九岁就主持阿伯丁的马里沙学院数学系，并于二十一岁发表其第一本重要著作《构造几何》，他二十七岁成为爱丁堡大学数学系教授的代理和助理．牛顿私人提供了这笔花费，才使该大学能得到一位如此杰出的青年人的服务．麦克劳林继承了他所助理的教授，发表了关于流数法的第一篇符合逻辑的、系统的解说著作《流数论》．麦克劳林的主要贡献在几何学和应用数学上．

莱布尼兹学说的推广 在17世纪到18世纪，主要由雅各布·伯努利和约翰·伯努利两兄弟的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。18世纪微积分最重大的进步是归于欧拉。他于1748年出版的《无限小分析引论》以及随后发表的《微分学》和《积分学》是微积分史上里程碑式的著作。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分析学符号，对分析表述的规范化起了重要作用。此外，法国学派的代表人物克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。

伯努利家族（17～18世纪）Bernoulli family 在一个家族中，代代相传，人才辈出，连续出过十余位数学家，堪称是数学史上的一个奇迹．瑞士伯努利数学家族（17—18世纪）就创造了这样一个神话．伯努利家族，原籍比利时安特卫普．1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔．其中以雅各布第一·伯努利（Jacob Bernoulli），约翰第一·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼尔第一·伯努利（Daniel Bernoulli）这三人的成就最大。

雅各布·伯努利 Jakob Bernoulli 雅各布 · 伯努利(1654---1705)出身于一个商人世家. 他毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位，后来遵照父亲的意愿又取得神学硕士学位，但他却不顾父亲的反对，自学了数学和天文学. 雅各布 · 伯努利在 1678年和1681年两次遍游欧洲学习旅行，使他接触了许多数学家和科学家，丰富了他的知识，拓宽了他的兴趣. 1682年他重返巴塞尔，开始教授力学. 1687年，雅各布成为巴塞尔大学的数学教授. 至逝世，他一直执掌着巴塞尔大学的数学教席. 是当时欧洲科学界一位颇有影响的人物.

雅各布· 伯努利对微积分学的特殊贡献在于，他指明了应当怎样把这一技术运用到应用数学的广阔领域中去。 雅各布· 贝努利在数学上的贡献涉及微积分、微分方程、无穷级数求和、解析几何、概率论以及变分法等领域. 雅各布· 伯努利对数学的最突出的贡献是在概率论和变分法这两个领域中. 他在概率论方面的工作成果包含在他的论文《推测的艺术》之中.

雅可比同莱布尼兹共同协作，对于微积分的发展作出了出色贡献，为常微分方程的积分法奠定了充分的理论基础。在研究曲线问题时他提出了一系列的概念，如对数螺线、双纽线、悬链线等。他继承和深入地研究并发展了微积分学，创立了变分法，提出并部分地解决了等同问题及捷线问题。雅可比还是概率论的早期研究者。许多概率论方面的术语都是以他的名字命名的。对于物理学方面的研究，雅可比也有一定贡献。

约翰·伯努利，J Bernoulli， 1667～1748） 约翰·伯努利比哥哥雅各布小13岁，生于巴塞尔。约翰于1685年18岁时获巴塞尔大学艺术硕士学位、于1690年获医学硕士学位，1694年又获得博士学位。1695年 ，28岁的约翰取得了他的第一个学术职位——荷兰格罗宁根大学数学教授。10年后的1705年，约翰接替去世的雅各布任巴塞尔大学数学教授。　

约翰对微积分的贡献主要是对积分法的发展．他曾采用变量替换来求某些函数的积分，在1699年的《教师学报》上给出了用变量替换计算积分 约翰提出了现在微积分中的一个著名定理——洛比达法则，它是用导数求一个分式当分子和分母都趋于零(或无穷大)时的极限的．这个定理是由他的学生洛比达在1696年编写的一本非常有影响的微积分教材《无穷小分析》(Analyse des infi－niment petits)中引入的，后称为洛比达法则．这个法则实际上是1694年约翰给洛比达的信中告诉洛比达的． 　　

1742年约翰出版了《积分学教程》(Lections mathe－maties de method integralium)，在这本书中约翰汇集了他在微积分方面的研究成果，他不仅给出了各种不同的积分方法的例子，还给出了曲面的求积，曲线的求长和不同类型的微分方程的解法，使微积分更加系统化．这部著作成为微积分学发展中的一本重要著作，在当时对于推动微积分的发展和普及微积分的知识都起了积极的作用． 微积分的迅速发展和应用，导致了微分方程这门新学科的诞生．约翰在微分方程的发展是一位开拓者． 1691年6月约翰在《教师学报》上发表文章，解决了他哥哥雅格布提出的“悬链线”问题，即“一根柔软而不能伸长的绳子自由悬挂于两固定点，求这绳所形成的曲线”．约翰设法 列出了该问题的微分方程 。

约翰的数学成果比雅各布多。 例如解决悬链线问题（1691年），提出洛必达法则（1694年）、最速降线（1696年）和测地线问题（1697年），给出求积分的变量替换法（1699年），研究弦振动问题（1727年），出版《积分学教程》（1742年）等。 约翰的另一大功绩是培养了一大批出色的数学家，其中包括18世纪最著名的数学家欧拉、瑞士数学家克莱姆、法国数学家洛必达，以及他自己的儿子丹尼尔和侄子尼古拉二世等。 

丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli） 约翰·伯努利有两个儿子，名叫尼古拉和丹尼尔，兄弟二人像他们的父亲和伯父一样，酷爱数学，日后也都成了世界著名的大数学家。 丹尼尔出生于荷兰的格罗宁根，1716年16岁时获艺术硕士学位；1721年又获医学博士学位。丹尼尔受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中的里卡提方程。

1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。 1727年，20岁的欧拉，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。丹尼尔认为圣彼得堡那地方的生活比较粗鄙，1733年，他返回巴塞尔，成为解剖学和植物学教授，最后又成为物理学教授。1734年，丹尼尔荣获巴黎科学院奖金，以后10次获得该奖金。能与丹尼尔媲美的只有大数学家欧拉。丹尼尔和欧拉保持了近40年的学术通信，在科学史上留下一段佳话。丹尼尔于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士，1750年当选英国皇家学会会员。他一生获得过多项荣誉称号，丹尼尔的博学成为伯努利家族的代表。一个关于丹尼尔的传说这是样的：有一次在旅途中，年轻的丹尼尔同一个风趣的陌生人闲谈，他谦虚地自我介绍说：“我是丹尼尔·伯努利。” 陌生人立即带着讥讽的神情回答道：“那我就是艾萨克·牛顿。”

法国学派 １８世纪后期到１９世纪初数学界著名的三个人物——拉格朗日、拉普拉斯和勒让德。

约瑟夫.拉格朗日 拉格朗日发现：“分析才是自己最热爱的学科” （Joseph-Louis Lagrange 1736~1813） 拉格朗日发现：“分析才是自己最热爱的学科” 法国数学家、物理学家、天文学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有许多杰出的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。

1799年，法国完成统一度量衡工作，制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日做出了巨大的努力。 编写了一批重要著作：《论任意阶数值方程的解法》、《解析函数论》和《函数计算讲义》 拉格朗日在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。两篇著名的论文：《关于解数值方程》和《关于方程的代数解法的研究》。把前人解三、四次代数方程的各种解法，总结为一套标准方法。

拉格朗日总结了18世纪的数学成果，同时又为19世纪的数学研究开辟了道路，堪称法国最杰出的数学大师。 欧洲最大的数学家 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一，被誉为“欧洲最大的数学家”。       

数论 在数论方面，拉格朗日也显示出非凡的才能。他对费马提出的许多问题作出了解答。如，一个正整数是不多于4个平方数的和的问题等等，他还证明了圆周率的无理性。这些研究成果丰富了数论的内容 。

幂级数 在《解析函数论》以及他早在1772年的一篇论文中，在为微积分奠定理论基础方面作了独特的尝试，他企图把微分运算归结为代数运算，从而抛弃自牛顿以来一直令人困惑的无穷小量，并想由此出发建立全部分析学。他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。 拉格朗日就在《解析函数论……》中，第一次得到微分中值定理f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)(a≤c≤b)，并用它推导出泰勒(Taylor)级数，给出余项Rn的具体表达式. Rn就是著名的拉格朗日余项形式．他着重指出，泰勒级数不考虑余项是不能用的．虽然他还没有考虑收敛性，甚至各阶导数的存在性，但他强调Rn要趋于零．表明他已注意到收敛问题．

微分方程 拉格朗日就对变系数常微分方程研究做出重大成果．他在降阶过程中提出了的伴随方程，并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程，就是原方程的齐次方程．他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况，证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成；而且在知道方程的m个特解后，可以把方程降低m价． 他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献，在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”(Sur les intégralesparticulieres des equations différentielles)［22］中系统地研究了奇解和通解的关系，提出由通解及对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法；指出奇解为原方程积分曲线族的包络线．他的奇解理论还不完善，现代奇解理论的形式是由G．达布(Darboux)等人完成的． 　　　　

常微分方程组的研究在当时结合天体力学中的课题进行．拉格朗日在1772年完成的“论三体问题”(Essai sur le problémedes trois corps)［8］中，找出了三体运动的常微分方程组的五个特解：三个是三体共线情况；两个是三体保持等边三角形；在天体力学中称为拉格朗日平动解．他同拉普拉斯一起完善的任意常数变异法，对多体问题方程组的近似解有重大作用，促进了摄动理论的建立．

拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者，他在1772年完成的。“关于一阶偏微分方程的积分”(Sur l'integration des équationau differences partielles du premier order)［21］和1785年完成的“一阶线性偏微分方程的一般积分方法”(Méthode génèrale pourintégrer les equations partielles du premier order lorsque cesdifferences ne sont que linèaires)［23］中，系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法． 他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等，并给出它们之间的关系．一阶非线性偏微分方程，可以化为解常微分方程组．现代也有时称此方法为拉格朗日方法，又称为柯西(Cauchy)的特征方法．因拉格朗日只讨论两个自变量情况，柯西在1819年在推广到n个自变量．

分析力学 完成了《分析力学》一书，这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。  拉格朗日是群论的先驱．他的思想为后来的N．H．阿贝尔(Abel)和 E．伽罗瓦(Galois)采用并发展，终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题．

勒让德（1752～1833） Legendre，Adrien-Marie 勒让德的主要研究领域是分析学(尤其是椭圆积分理论)、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。在L.欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。但他未能像N.H.阿贝尔和C.G.J.雅可比那样洞察到关键在于考察椭圆积分的反函数 ，即椭圆函数。在关于天文学的研究中，勒让德引进了著名的“勒让德多项式” ，发现了它的许多性质 。

他还研究了B函数和Γ函数，得到了Γ函数的倍量公式。他陈述了最小二乘法，提出了关于二次变分的“勒让德条件”。 勒让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基本定理。他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许多数学家研究这个问题。

拉普拉斯Laplace 1749 --1827 拉普拉斯，法国数学家、天文学家，法国科学院院士。是天体力学的主要奠基人、天体演化学的创立者之一，他还是分析概率论的创始人，因此可以说他是应用数学的先驱。 1799～1825年出版的5卷16册巨著《天体力学》是经典天体力学的代表作。因此他被誉为法国的牛顿和天体力学之父。

拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。 　　 拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。

1796年他的著作《宇宙体系论》问世，书中提出了对后来有重大影响的关于行星起源的星云假说。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说，因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。 　他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专著合计有4006多页。其中最有代表性的专著有《天体力学》、《宇宙体系论》和《概率分析理论》（1812年发表）。

拉普拉斯把注意力主要集中在天体力学的研究上面。他把牛顿的万有引力定律应用到整个太阳系，1773年解决了一个当时著名的难题：解释木星轨道为什么在不断地收缩，而同时土星的轨道又在不断地膨胀。拉普拉斯用数学方法证明行星平均运动的不变性，即行星的轨道大小只有周期性变化，并证明为偏心率和倾角的3次幂。这就是著名的拉普拉斯定理。此后他开始了太阳系稳定性问题的研究。

数学史教程 －－李文林 第七章 分析时代--02 主 讲 人　 孙利

二、分析的形式化

莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler,1707.4.5.～1783.9.18.） 瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的数学家之一（卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。

欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公式（数字法），

欧拉著有巨大影响的《无穷小分析引论》、《微分学原理》. 他研究了天文学，并与达朗贝尔（I. L. R 欧拉著有巨大影响的《无穷小分析引论》、《微分学原理》.他研究了天文学，并与达朗贝尔（I.L.R.D'Alembert）、拉格朗日一起成为天体力学的创立者，发表了《行星和慧星的运动理论》、《月球运动理论》、《日蚀的计算》等著作他研究了流体的运动性质，建立了理想流体运动的基本微分方程，发表了《流体运动原理》和《流体运动的一般原理》等论文，成为流体力学的创始人.以流体力学、潮汐理论为基础，丰富和发展了船舶设计制造及航海理论，出版了《航海科学》一书，并以一篇《论船舶的左右及前后摇晃》的论文，荣获巴黎科学院奖金.

撰写了《微积分原理》，在这部三卷本巨著中，欧拉系统地阐述了微积分发明以来的所有积分学的成就，充满了欧拉精辟的见解 撰写了《微积分原理》，在这部三卷本巨著中，欧拉系统地阐述了微积分发明以来的所有积分学的成就，充满了欧拉精辟的见解.1768年,《积分学原理》第一卷在圣彼得堡出版。1770年第三卷出版写成《代数学完整引论》，有俄文、德文、法文版，成为欧洲几代人的教科书，1774年，他把自己多年来研究变分问题所取得的成果集中发表一本书《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》中.从而创立了一个新的分支---变分法.欧拉对天文学中的“三体问题”月球运动及摄运问题进行了研究。 他解决了牛顿没有解决的月球运动问题，首创了月球绕地球运动地精确理论。为了更好地进行天文观测，他曾研究了光学，天文望远镜和显微镜。研究了光通过各种介质的现象和有关的分色效应，提出了复杂的物镜原理，发表过有关光学仪器的专著，对望远镜和显微镜的设计计算理论做出过开创性的贡献，在1771年他又发表了总结性著作《屈光学》.

　 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的.比如，他能背诵前一百位质数的前十次幂，能背诵罗马诗人维吉尔（Virgil)的史诗Aeneil,能背诵全部的数学公式。直至晚年，他还能复述年轻时的笔记的全部内容;心算并不限于简单的运算，高等数学里的计算一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。

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欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．" 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算" ． 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的． 欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数v、棱数e、面数f之间总有v-e+f=2这个关系。v-e+f被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。在数论中，欧拉首先引进了重要的欧拉函数φ(n)，用多种方法证明了费马小定理。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。

"欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样 (阿拉戈语)，这莱昂哈德· 欧拉无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为"分析的化身"。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。 欧拉到底为了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60至80卷。1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的。欧拉属于整个文明世界，而不仅仅属于于瑞士。为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了。

欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世（1727年）的那一年。对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637年间世)已经应用了90年，微积分大约50年，牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界人们面前已40年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。

4.作为伯努利家族的学生，欧拉是不可能置身于这个家族关于微分方程的讨论之外的。在伯努利家族的影响下，从研究力学入手，开始了微分方程的研究。

5.达朗贝尔(Jean Le Rond d‘Alembert， 1717-1783) 法国著名的物理学家、数学家和天文学家， 研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。

傅立叶（Joseph Fourier， 1768年～1830年） 法国数学家、物理学家。 傅立叶的主要贡献是他在研究热传导问题时创立了一套数学理论。在1807年傅立叶就写成了一篇关于热传导问题的论文，他在向法国科学院呈交的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。傅立叶的创造性工作是他推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法——傅立叶级数法，从而极大地推动了微分方程理论的发展。

加斯帕尔·蒙日 （Gaspard Monge，1746～1818），法国数学家、化学家和物理学家。 19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴。他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就。他的《大炮制造工艺》在机械制造界影响颇大。主要著作：《曲面的解析式》（1755）、《静力学引论》（1788）、《画法几何学》（1798）、《代数在几何学中的应用》（1802）、《分析在几何学中的应用》（1805）等。

克莱洛，法国数学家、力学家。 1713--1765 9岁时,父亲就教他学习解析几何和微积分学,16岁被选入法国科学院, 他在研究天体力学三体问题时,第一个给出了这个问题的近似解(1752～1754)。1705年,E.哈雷曾预测哈雷彗星将在1758或1759年出现。克莱罗于1758年提前半年相当精确地计算了哈雷彗星到达近日点的日期，为此获彼得堡科学院的奖。 克莱罗是最早研究二重曲率曲线的人之一，他还研究了曲面平面截线。他的《极大极小的某些问题》(1733)是变分法历史上的第一篇重要论著。他在1734年建立了克莱罗微分方程。1739～1740年间证明了混合二阶偏导数的求导次序的可交换条件，还证明了一阶线性微分方程的积分因子的存在性问题。

三、微积分的应用及新分支的形成 1.常微分方程 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

2.数学物理方程 数学物理方程主要指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分积分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。 数学物理方程是纯粹数学的许多分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）和自然科学各部门及工程技术领域之间的一个重要桥梁。

3.变分法 变分法（calculus of variations），是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉---拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，莫尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为Plateau问题。 　　最优控制的理论是变分法的一个推广。

变分法的进一步发展 无论是欧拉还是拉格朗日，他们都意识到，要使积分 取得极大或极小解，欧拉微分方程 只是其 应满足的一个必要条件。 取得极大或极小解，欧拉微分方程 只是其 应满足的一个必要条件。 欧拉和拉格朗日留给后人的问题是：欧拉微分方程 的解 必须满足什么样的附加条件才能真正使一个依赖于 的积分取得极大或极小？另外两位法国数学家拉普拉斯和勒 让德首先开始了对这个问题的探索。但两人均未能解决这个 问题。

1837年雅可比试图通过强化勒让德条件使之成为充分条件，然而他所得到的一些充分条件都是不正确的。但他的工作使人们清楚地看到，变分法的进展不能仅以通常的微积分的极大和极小理论为指导。 魏尔斯特拉斯在1879年证明了有关弱变分的一个充分条件，并通过引进“场”的概念提出了有关强变分的充分条件，这个条件后来由希尔伯特于1900年给出了证明。 在应用方面，拉格朗日最小作用原理对动力学规律的成功描述，启示着这一概念应该可以应用到物理学的其他分支上去。19世纪初期，许多数学家都致力于这项工作，泊松、柯西等人成功的运用变分法解决过许多弹性问题，而其中最突出的是哈密顿，他从最小作用原理出发，发表了一系列论文建立了光学的数学理论，他所提出的原理更具一般性，他的工作不仅推动了变分法的进一步研究，而且也推动了常微分方程组和一阶偏微分方程组的进一步研究。

4.微分几何 与微积分学同时起源于17世纪。单变量函数的几何形象是一条曲线，函数的导数就是曲线切线的斜率。函数的积分在几何上则可理解为一曲线下的面积等等。这种把微积分应用于曲线、曲面的研究，实质上就是微分几何学的开端。L.欧拉、G.蒙日、J.L.拉格朗日以及A.-L.柯西等数学家都曾为微分几何学的发展作出过重要贡献。与此同时，曲面内蕴几何等崭新的思想也在不断地产生并积累着。在此基础上，C.F.高斯奠定了曲面论基础，并使微分几何学成为一门新的数学分支。按F.克莱因变换群几何的分类方法来看，微分几何学应属于运动群，所以也称为运动几何学或初等微分几何学。

刘维尔认真研究了莱布尼茨、约翰·伯努利和欧拉的著作。他在早期工作中尽可能地扩展微分和积分的概念，尤其是建立任意阶导数的理论. 1832年12月7日和1873年2月4日，刘维尔先后向巴黎科学院提交两篇论文，对代数函数和超越函数进行了分类，以此整理N．H．阿贝尔、拉普拉斯等人关于椭圆积分的表示和有理函数的理论，在此基础上，他于1834年给出了初等函数的分类. 初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。

刘维尔涉足科学领域之际，由阿阿尔和C．雅可比所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期。1844年12月，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数)出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。这是对椭圆函数论的一个较大贡献。围绕双周期性，刘维尔展示了椭圆函数的实质性质，提出如下定理： 刘维尔第1定理在一个周期平行四边形内没有极点的椭圆函数是常数； 刘维尔第2定理椭圆函数在任一周期平行四边形内的极点处残数之和为0； 刘维尔第3定理n阶椭圆函数在一个周期平行四边形内取任一值n次； 刘维尔第4定理在一周期平行四边形内零点之和与极点之和的差等于一个周期。 　　

后来，到巴黎访问的两位德国数学家C．W．博尔夏特(Bor－chardt)和F．约赫姆塔尔(Joachimsthal)向刘维尔详细请教了他的工作情况，而1850—1851年刘维尔在法兰西学院讲授的双周期函数课程，也在C．A．布里奥(Briot)与J．C．布凯(Bou－quet)所著《双周期函数论》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一书中得到系统介绍。 因此，尽管刘维尔的有关结论很少发表，仍能在法国内外迅速传播并产生影响，双周期函数的讲义后来发表在1880年第88卷的德国《纯粹与应用数学杂志》上。

微分方程与积分方程 19世纪，随着各种曲线坐标系的引入和新的函数类如贝塞尔(Bessel)函数、勒让德(Legendre)多项式等作为常微分方程的特征函数而兴起，确定带边界条件的常微分方程的特征值与特征函数，便成为日益突出的重要问题。刘维尔和他的朋友、力学教授C．斯图姆(Sturm)在30年代同时钻研了这类问题。 数论 刘维尔对数论问题产生兴趣是由费马大定理开始的。1840年，他将费马问题作了转化，证明方程 的不可解性意味着 的不可解性。

从1856年开始，刘维尔放弃了在其他方面几乎所有的数学研究，而把精力投入到数论领域。10年间，他在《纯粹与应用数学杂志》上发表了18篇系列注记和近200篇短篇注记，前者未加证明地给出了许多一般公式，为解析数论的形成奠定了基础，后者则个别地讨论了素数性质和整数表示为二次型的方法等特殊问题。

其他贡献 1836年，刘维尔与斯图姆共同给出了关于代数方程虚根数目的柯西定理的证明；次年，他又用不同于阿贝尔的方法，解决了二元代数方程组的消元问题。这些都被J．A．塞雷(Serret)收入了他编写的《高等代数教程》(Cours d’Algèbre superieure)第4版(1877)，得以在法国的学校中广泛传播。 为了发表伽罗瓦的著作，刘维尔从1843到1846年对其手稿进行了彻底的研究。在他为伽罗瓦的著作发表所写的导言中，对伽罗瓦的工作给予了高度评价。他还邀请包括塞雷在内的一些朋友，参加关于伽罗瓦工作的系列演讲。因此，刘维尔间接地推动了近世代数学和群论的发展。 在几何学方面，刘维尔于1841年和1844年用消去理论证明并推广了M．沙勒(Chasles)建立的曲线和曲面的度量性质，还发现一种新方法，以确定任意椭圆曲面的测地线，这是雅可比在研究双曲超越数时引出的问题。1850年他负责出版了G．蒙日(Monge)的著作《分析在几何中的应用》(Application de l′anal－yse àla géométrie)第5版，在书末附上了C． F．高斯(Gauss)的名著“关于曲面的一般研究”(Disquisitiones generales circa su－perficies curvas)和他本人写的7篇注记。这些注记涉及曲线及其相对曲率和测地曲率、测地线方程、总曲率概念等。 刘维尔还有文章涉及热理论、电学、天体力学和理论力学等.

F•克莱因 德国数学家，1865年入波恩大学。1870年与S•李（M.S.Lie），相伴去巴黎，共同研究变换群等问题。1872年，成为爱尔兰根大学教授。1875-1886年间先后任慕尼黑工业大学和莱比锡大学教授。1886-l913年任哥丁根大学教授。1885年被选为英国皇家学会会员。1897年被选为法国科学院院士。1913年被选为普鲁士科学院通讯院士。

F•克莱因在非欧几何、连续群论、代数方程论、自守函数论等方面，都取得了杰出的成就。1872年，他在爱尔兰根大学发表题为《关于近代几何学研究的比较评述》的著名演讲，用变换群做出了几何学的分类。又把群的概念应用于自守函数、椭圆模函数、线性微分方程、阿贝尔函数等方面。他首先提倡改革中等教育的数学内容和方法，影响了近代的数学教育。在数学史方面，著有《l9世纪数学的发展》。对工程力学也有贡献。长期担任《数学年鉴》的编辑。1895年倡议编纂《数学百科全书》，并为之付出了大量劳动。F•克莱因的主要著作有《非欧几何学》、《高等几何学》、《椭圆函数论》、《二阶线性微分方程》、《初等几何若干问题》、《从高等数学的角度研究初等数学》等。

F•克莱因的成就是多方面的，但他的主要贡献还是在几何方面。他给出了罗巴切夫斯基非欧几何一个简单的直观模型，把该几何的相容性问题归结为欧几里得几何的相容性问题，使得原来似乎复杂和难于接受的非欧几何的思想变得易于理解，促使数学界承认了非欧几何在数学中的合法地位。他仔细区分出两类椭圆几何，并给出单重椭圆几何一个简单直观的曲面模型。他接受凯莱（A•Cayley）关于一般射影关系决定度量的思想，并将它推广以至包括各种非欧几何。

他把凯莱绝对形的性质具体化，并应用类似于凯莱的距离和角度表达式，把罗巴切夫斯基度量几何、黎曼非欧几何（正的常曲率）、通常的欧几里得度量几何等统统纳入射影几何，从而成功地完成了各种度量几何的统一工作，他的著名演讲《关于近代几何学研究的比较评述》所提出的几何学群论观点利用变换群作工具，以极为简洁的方式给出了各种几何学的统一定义，明确了各种几何学的研究对象，作出了几何学的分类。这不但使当时已经五彩纷呈、犬牙交错的众多几何学化为统一的形式，而且也指明了建立抽象空间各种新的几何学的一种方法。F•克莱因的几何学群论观点是19世纪几何学发展史上一次新的飞跃。它引导了其后50年左右的几何学发展。人们把它誉为《爱尔兰根纲领》而流传于世，以至于逐渐淡忘了这篇著名演讲的本来标题。谈到F•克莱因，人们马上就想到爱尔兰根纲领；论及爱尔兰根纲领，人们立刻回忆F•克莱因。F•克莱因，爱尔兰根纲领，几乎成了同义语。