一、无穷小的比较 例如, 观察各极限 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义:
例如，
例1 解
证 必要性 充分性
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 常用等价无穷小:
例２ 解
二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) 证
例３ 解 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．
例４ 解 注意 不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.
例５ 错 解 解
例6 解
三、小结 1、无穷小的比较 2、等价无穷小的代换: 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶. 2、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件.
思考题 任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答 不能． 例当 时 都是无穷小量 但 不存在且不为无穷大 故当 时
练 习 题
练习题答案
第三讲 (一) 无穷小量(续) (二)连续函数 一、三个重要关系 二、无穷小量的比较 三、求极限举例 四、函数连续性的定义 2019/5/6
一、三个重要关系 1.（无穷小与无穷大） 2.（极限与无穷小） 2019/5/6
3.无穷大与无界函数 问题： 两个无穷小量的商是否为无穷小量？ 2019/5/6
二、无穷小量的比较 定义： 2019/5/6
2019/5/6
2019/5/6
几个常用的等价无穷小量 2019/5/6
等价无穷小量的性质 性质1： 2019/5/6
性质2： 等价代换 2019/5/6
三、求极限举例 [例1] [解] 2019/5/6
[例2] [解] 2019/5/6
2019/5/6
[例3] [解] 2019/5/6
是 x 的 3 阶无穷小 讨论： 代数和不能代换！ 2019/5/6
[例4] [解] 2019/5/6
[例5] [解] 2019/5/6
[例6] [解] 2019/5/6
[例7] [解] 2019/5/6
从而 或者 2019/5/6
连 续 函 数 2019/5/6
函数连续性的定义 函数的连续性描述函数的渐变性态, 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述： 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的； 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变； 连续函数的图形可以一笔画成,不断开. 2019/5/6
例如： 2019/5/6
2019/5/6
2019/5/6
2019/5/6
以上描述实质上是同意的反复,数学上要确切 地刻画函数连续性,必须用极限作定量地描述. （一）定义 定义1： 2019/5/6
[注意1] 以上三条中带本质性的是第二条，极限的存在性. [注意2] 2019/5/6
定义2： （函数在一点的单侧连续性） 2019/5/6
定义3： （ 函数在区间上的连续性） 2019/5/6
（二）间断点的分类 根据间断点的不同情况，可以分为三类： 1. 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续. 1. 可去型间断点 可去型间断不是本质性的间断,可以重新 定义, 使其连续. 2019/5/6
[例如] 2019/5/6
2. 第一类间断点 [例] 符号函数 2019/5/6
3. 第二类间断点 [例] 2019/5/6
五、函数连续性的基本性质 （一）连续性定义的等价形式： 2019/5/6
（二）连续函数的有界性： 2019/5/6
（三）连续函数的保号性： 2019/5/6
（四）连续函数的运算性质： 2019/5/6
（五） 关于反函数的连续性 （六）初等函数的连续性 初等函数在其定义区间上是连续的。 2019/5/6
非初等函数连续性问题举例 [解] 2019/5/6
2019/5/6
[解] 2019/5/6
2019/5/6