第四章 一元函数的变化性态(III) 北京师范大学数学学院 授课教师:刘永平
今天主要内容: 绝对连续函数和康托函数 (1)绝对连续函数的性质; (2)微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式); (3)康托集与康托函数 ; (4)一些例子. (5) 小结.
1. 绝对连续函数的基本性质
例3.1
定理3.1
定理3.2
定理3.3. 微积分基本定理 (Newton-Leibniz公式)
例3.1
康托集与康托函数 康托集:将[0,1]三等分,去掉开区间 然后将 剩下的两个闭区间分别三等分并去掉中间的开区间 仿此继续, 当进行到第n步时, 去掉 个开区间(依其元素小大
为序): 区间长为 . 那么进行第n+1步,在 的 个闭区间中,分别三等分 并去掉他们的中间的开区间:
归纳地,可从[0,1]中去掉开区间族:
康托集的性质
康托函数
康托函数的性质
例子4.1 推广的康托集
推广的康托集的性质
奇异函数和Heaviside函数 若一个不恒为零的连续函数s, 它a.e.可导且其导函数a.e.为零,则称s为奇异函数. Heaviside函数:
跳跃函数 设 f是[a,b]上的单调增加函数, 是其全体不连续点. 定义:
定理3.4.单调函数的勒贝格分解 设 f 是[a,b]上的单增函数,则
小结 (1)绝对连续函数使得微积分基本公式成立; (2)康托三分集是测度为零、不可数、稀疏的完全集; (3)康托函数是导数几乎处处为零、函数值充满[0,1]的连续单调增函数, 故它是奇异的; (4)单增函数的勒贝格分解:跳跃(或0)+绝对连续+奇异(或0).
习题4.3 4、5、6、7、8、9.