小波及连续小波变换 常用的基本小波 时频分析 连续小波变换的计算 小波变换的分类

小波及连续小波变换 设函数 ，并且 ，即 ，则称 为一个基本小波或母小波。 (连续)小波函数 a和b的意义 性质： 线性性质 平移不变性 ……….

小波及连续小波变换 设函数 , 若 则称 为一个允许小波。 允许条件与 几乎是等价条件.

常用的基本小波 Haar小波

常用的基本小波 2. Daubechies小波 D4尺度函数与小波 D6尺度函数与小波

常用的基本小波 3、双正交小波 双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器 bior2.2, bior4.4 （7-5）小波滤波器:

常用的基本小波 4. Morlet小波 Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。

常用的基本小波 5. 高斯小波 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 5. 高斯小波 这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于阶梯型边界的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴反对称。

常用的基本小波 6. Marr小波 （也叫墨西哥草帽小波） 这是高斯函数的二阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴对称。

常用的基本小波 7. Meyer小波 它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：

常用的基本小波 8. Shannon小波 在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是频率带限函数，具有好的局部化特性。

常用的基本小波 9. Battle-Lemarie样条小波 Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形

时频分析 1. Fourier分析简介 Fourier变换没有反映出随时间变换的频率，也就是说，对于频域中的某一频率，我们不知道这个频率是在什么时候产生的。因此，Fourier分析缺乏信号的局部化分析能力 。 2. 短时Fourier变换 短时Fourier变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier变换分析每个时间间隔，以便确定在该时间间隔内的频谱信息。

窗口Fourier变换 非平凡函数 称为窗函数， 如果 窗口Fourier变换： 大致反映了 在时刻 b、频率为 的"信号成分"的相对含量。 通常我们用 作为窗函数 的宽度的度量。 窗口Fourier变换： 大致反映了 在时刻 b、频率为 的"信号成分"的相对含量。

窗口Fourier变换 给出了 在 的时间窗 内的局部化信息。

短时Fourier变换 若 及其Fourier变换 都是窗口函数 ，则称 为短时Fourier变换。 特别地，当窗口函数取Gaussian函数时， 相应的短时Fourier变换称为Gabor变换。 同时给出了 在时间窗 和频率窗 内的局部化信息。 时间-频率窗 的特性：不变的宽度 和固定的窗面积 测不准原理： 应用上的局限性：不太适合分析非平稳信号。

小波时频分析 小波分析能够提供一个随频率改变的时间-频率窗口。 假设 是任一基本小波，并且 与 都是窗函数， 它们的中心 与半径分别为 和 不妨设 和尺度 a都是正数。 ， ， 。 给出了 在时间窗 内的局部化信息。 给出了 在频域窗 内的局部化信息。

小波时频分析 若用 作为频率变量 内的局部化信息, 即小波变换具有时—频局部化特征。 窗宽: 面积: 的宽度是 宽度的 倍. 检测信号 ，则 给出了信号 在时间—频率平面（ 平面）中一个矩形的时间—频率窗 内的局部化信息, 即小波变换具有时—频局部化特征。 窗宽: 面积: 的宽度是 宽度的 倍. 检测信号 的高频成分需用 具有比较小的 的分析小波 . 这时时间窗会自动 变窄，并在高频区域对信号进行细节分析.

各种变换的比较 小波变换的特性 Fourier变换的特性 分解种类：时间-尺度或时间-频率  分解种类： 频率 分析函数：具有固定震荡次数的时间有限的波。 小波函数的伸缩改变其窗口大小。 变量： 尺度，小波的位置 信息：窄的小波提供好的时间局部化及差的频率 局部化，宽的小波提供好的频率局部化 及差的时间局部化。 适应场合：非平稳信号 Fourier变换的特性  分解种类： 频率  分析函数： 正弦函数，余弦函数  变量： 频率  信息： 组成信号的频率 适应场合： 平稳信号  算法复杂度： 短时Fourier变换的特性 分解种类：时间-频率 分析函数：由三角震荡函数复合而成的时间有限的波 变量：频率，窗口的位置 信息： 窗口越小，时间局部化越好，其结果是滤掉低频成分； 窗口越大，频率局部化越好, 此时时间局部化较差. 适应场合：次稳定信号

连续小波变换的计算 数值近似积分法、快速算法（包括Mellin算法，斜交投影算法等） 在Matlab小波工具箱中，用cwt（）函数计算连续小波变换。 连续小波变换的结果的显示方式： 灰度表示，三维表示

连续小波变换与离散小波变换在分析信号时的优缺点 2, 4, 8, 16 , 32 1，2，…, 32

小波变换的分类 中 离散小波及离散（参数）小波变换： 二进小波及二进小波变换 三个变量均为连续变量， 通过对它们施加不同的 离散化条件对小波及小波变换进行分类。下面介绍两种最重要的分类： 离散小波及离散（参数）小波变换： 二进小波及二进小波变换 只对a,b离散化 ： 只对a离散化

离散小波及离散（参数）小波变换 令参数 ， ，其中 ，则离散（参数）小波为： 在这种情况下，常用 记 ，即 相应于离散小波 的离散（参数）小波变换为： 重构问题： 在满足什么条件下，可以由离散小波变换 重构原信号？ 可以验证，离散（参数）小波变换不具有平移不变性（习题6.4）。

离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论 尺度离散化： 实际工作中最常见的情况是,将尺度 a按照二进尺度离散化,此时a 取值为 位移离散化： 当a=2-J (也就是j =J时),b可以某一基本间隔b0做均匀采样. b0应适当选择使信息仍能覆盖全b轴而不丢失(如不低于Nyquist采样率). 每经过一次小波变换, 其采样间隔扩大一倍,由此可见此时a-b平面内的采样点如下图所示.

离散小波及离散（参数）小波变换的进一步讨论 即对于分辨率j, b以采样间隔1/2jb0做均匀采样.此时, 变为 ,为简化书写,通常认为b0=1, 也就是把b轴用b0加 以归一.并记 问题: 如何利用db2小波的支撑解释突变点的支撑区间? [2.7890625,2.828125]

连续二进小波变换 二进小波的构造及一些常用的二进小波 离散二进小波变换的快速算法 二维二进小波变换及其快速算法

二进小波及二进小波变换 在连续小波变换中，令参数 ，而参数b仍取连续值. ， 则有二进小波： 这时， 的二进小波变换定义为： 重构问题： 在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？

二进小波及二进小波变换 卷积定义: 假定小波函数 为实函数, 尺度符号改用 表示,相应于 的连续 小波变换记为 当 . 时， 连续二进小波变换为： 其中， 重构问题： 在满足什么条件下，可以由二进小波变换 重构原信号？ 注意与当前文献中各种定义的区别.

二进小波及二进小波变换 ，且 设函数 ，如果存在正常数 与 ，使得 满足 使得原信号可由二进小波变换得到重构： 二进小波及其稳定性条件 二进小波变换的稳定性条件 则 二进小波及其重构小波 二进小波变换具有平移不变性 且存在 满足 二进小波是允许小波 离散小波是二进小波 使得原信号可由二进小波变换得到重构：

二进小波的构造 目标: 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器. 若 则 是 的一个重构小波。 为二进小波 设 都是有限滤波器， 目标: 构造可用于快速计算的具有有限长的二进小波滤波器. 设 都是有限滤波器， 是其频域表示 ; 都是能量有限的函数，且满足 若 则 是 的一个重构小波。 为二进小波

二进小波的构造 较简单的情况: 正交二进小波 非正交二进小波 二进对偶尺度函数与对偶小波 问题讨论: 是二进小波 且 =

一些常用的二进小波 例7.1 非正交的二次样条二进小波[一般求解过程参阅指定参考文献,吴爱弟等 ] 令 例7.1 非正交的二次样条二进小波[一般求解过程参阅指定参考文献,吴爱弟等 ] 令 为二次盒样条函数的Fourier变换: 取 是一个二进小波(验证!).

一些常用的二进小波 图7-1 非正交二次二进样条小波 画图方法讨论：1）分析mallat著作中采用的方法；2）用upcoef画图的合理性。

一些常用的二进小波 例7.2 正交的二次样条二进小波 令 为二次盒样条函数的Fourier变换: 问题: 已知 其中，当 时 求解g(z)?

一些常用的二进小波 正交的二次二进样条小波

一些常用的二进小波 例7.2 正交的三次样条二进小波 令 为三次盒样条函数的Fourier变换: 类似地,可以求出h 和g : ; 例7.2 正交的三次样条二进小波 令 为三次盒样条函数的Fourier变换: 类似地,可以求出h 和g : ; 另一个解[扬福生著,P151]: 问题: 是否都正确?这同样涉及到上面提到的一般求解问题. 能否给出任意m 次样条二进小波的求解公式?

一些常用的二进小波 正交的三次二进样条小波(利用对称的数据) 正交的三次二进样条小波(利用1/2对称的数据) 相同?

一些常用的二进小波 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造 阶中心B样条的定义。记 称 为 阶中心B样条。 m+1 阶中心B样条 与 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造 阶中心B样条的定义。记 称 为 阶中心B样条。 m+1 阶中心B样条 与 m次盒样条 的区别与联系: 当m为奇数时， 当m为偶数时， 由 向右平移1/2得到。 以下分偶数阶和奇数阶中心B样条介绍零对称和反对称二进小波的构造方法。

一些常用的二进小波 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以偶数阶中心B样条为基础的二进样条小波 n维实数组 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以偶数阶中心B样条为基础的二进样条小波 n维实数组 零反对称的二进样条小波 零对称的二进样条小波

一些常用的二进小波 零反对称二进样条小波 由 构造的 零对称二进样条小波

一些常用的二进小波 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波 非 周期 解决方法: 例7.3 零对称和反对称二进样条小波的构造(续)  以奇数阶中心B样条为基础的二进样条小波 非 周期 解决方法: 零反对称的二进样条小波 零对称的二进样条小波

一些常用的二进小波 由 构造的 零对称二进样条小波 零反对称二进样条小波

一些常用的二进小波 Marr小波作为二进小波 [注意: 与教材上相差一个系数] 利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波） [注意: 与教材上相差一个系数] 利用滤波器进行计算时的滤波器系数如下（作为二进小波） [扬福生著,P148]: 0 0.4317 0.7118 1 0.2864 -0.2309 2 0.0450 -0.1120 3 -0.0393 -0.0226 4 -0.0132 0.0062 5 0.0032 0.0039 问题: 这些滤波器系数是如何计算得到的？ 更正: 应该是关于零对称的系数?

一些常用的二进小波 为什么不是关于零对称的?

离散二进小波变换的快速算法 小波变换的尺度为: 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组 进行快速计算。 如何理解采样间距为1的离散信号的二进小波变换? 为表述方便,令 小波变换的尺度为: 小波变换的尺度为: 由于 s=2j, 因此,相应的分辨率j为： 由于 s=2j, 因此,相应的分辨率j为：

离散二进小波变换的快速算法 介绍如何利用二进小波变换处理离散信号的输入序列，以及如何采用滤波器组 进行快速计算。 如何理解采样间距为1的离散信号是一个被平滑的连续函数的均匀采样? 设 是采样间距为1的离散信号， 则存在 使得

离散二进小波变换的快速算法 ，在整数格点上，二进小波系数由下式给出： 离散二进小波变换的定义: 对任意 ，记 对 则对任意尺度 ，离散信号序列 称为 的离散二进小波变换。 快速算法的基本求解思想: 将离散的问题转化为连续的问题处理,然后给出离散的处理结果.

离散二进小波变换的快速算法 讨论: 在Matlab中,二进小波变换没有对应的实现函数,需要自己编写. 与第4章中的相应算法相比,推导过程不同. 注意分解与重构滤波器的不同符号.

离散二进小波变换的快速算法 a) b)

二维二进小波变换的一般概念 通过两个小波 和 定义 ，这里假设这两个小波都是 实函数。 则对任意的函数 ， 在尺度 和位置 的小波变换 由两个分量来定义，即 我们称函数集合 为 的二维 二进小波变换。

二维二进小波变换的一般概念 若存在 和 ,使得 则存在重构小波 ，其Fourier变换满足 使得 称这两个小波 和 为二维二进小波.

二维可分离二进小波变换构造的一般框架 周期 周期 和 是 重构小波。 问题: 如何验证 和 满足稳定性条件?

常用的二维可分离二进小波变换 例7.4 由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ，则 ；当 时， 例7.4 由非正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ，则 ；当 时， 例7.5 由正交的二次样条二进小波，构造可分离的二维二进小波 取 ，则 与以前的问题相似,这里的关键是如何求解l(z)? 书上给出的是正交的三次样条二进小波对应的{ln}.

常用的二维可分离二进小波变换 例7.6 由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波 取 实数组 则利用对称二进小波 及其重构小波 例7.6 由零对称和反对称二进小波构造可分离的二维二进小波 取 实数组 则利用对称二进小波 及其重构小波 所构造的 是一个对称的二维二进小波。 相应地，利用反对称二进小波 及其重构小波 所构造的 是一个反对称的二维二进小波。

二维离散二进小波变换及其快速算法 介绍采样间距为1的规范化离散图像的二进小波变换： 设 是采样间隔为1 的二维离散信号，则存在一个二维函数 ，使得 对任意 ，记 对 ，在整数网格点 上，二进小波系数由下式给出： 则对任意尺度 ，离散信号序列 称为 的离散二维二进小波变换。

二维离散二进小波变换及其快速算法 例7.4中二维二进小波变换的快速实现： 式（7.36）,（7.37）,（7.38）的时域表示：

二维离散二进小波变换及其快速算法 例7.4中二维二进小波变换的快速实现： 分解算法 （7．39） 的时域表示为： 重构算法

二维离散二进小波变换及其快速算法 例7.5中二维二进小波变换的快速实现：

补选习题 提供Matlab中小波时频分析的仿真例子. 要求: 必须真正理解解题思想及过程,并详细描述之.

习题说明 补充选做习题 7.1题可以参考相关资料[上载网络学堂] 7.6题搞清循环卷积的概念 考虑用upcoef()进行二进小波做图的合理性, 考虑小波的支撑(提示:通过小波方程应该可以求出.) 补充选做习题 1. 例7.2中所提出的求解方法问题 2. 例7.4中{ln}的求解问题.

思考题 1. Marr二进小波滤波器的求解问题 2. 正交的m次二进样条小波的一般求解公式问题. 3. 例7.4~7.6中二维二进小波稳定性条件的验证问题. 4. 能否给出定理7.3中二维二进小波稳定性条件成立的一个充分条件.