二重积分的换元 主讲人：汪凤贞
六、二重积分的换元（变换） 计算二重积分时，由于某些几分区域的边界曲 线比较复杂。仅仅将二重积分化为累次积分并不求 出二重积分，就是定积分中的换元积分公式。在二 重积分计算中也有相应的换元法则。 定理3 若((x,y)在有界闭区域R连续，函数组 x=x(u,v),y =y(x,y）将uv坐标面上的区域R一 对一变换成xy坐标面上的区域R且x=x( u,v），
y=y（u,v）在 R’上存在连续偏导数。（u,v ） R, 有 则：
证：因为f(x,y)在R 连续。所以可积。用任意分法T将 R分成n个小区域：R1,R2 ，…，Rn。又由于复合函数的连续性知 f(x,(u,v),y(u,v) )在R’ 连续，所以可积 。设其面积为 则根据函数行列式的几何性质，
又由已知得 于是积分和
再根据隐函数组确定的反函数组存在定理 知函数组 x=x(u,v), y=y(u,v)在R上存在有连续偏导数。反函数组u=u(x,y)， v=v(x,y) 由连续知必一致连续。 因此当分法T的细度||T|| 0时，分法T`的细度||T`||也趋于0。
对（*）式两边取极限||T||-0时，有||T`||-0。 故有：
例１ 求两条抛物线 与两条直线y= x，y= x 所围成的区域Ｒ的面积Ｓ。其中０＜ｍ＜ｎ，０< < 矩形域Ｒ‘： y2=nx y2=mx x y o R v u
解：根据二重积分的性质知：Ｓ＝ 作变换：ｕ＝ v=y/x 则此函数组将ｘｙ做表面上Ｒ变换成ｕｖ平面上的 矩形域Ｒ‘：ｍ＜＝ｕ＜＝ｎ； ＜＝ｖ＜＝
根据定理3： 例2 ： 证明
其中R：|x|+|Y|<=1 证明：如图所示，R是由直线X+Y=1。X+Y=-1， X-Y=1，X-Y=-1所组成。作变换得：u=x+y， v=x-y。则此函数组将xy面上的正方形R： |x|+|y|<=1，变换成uv面上的正方形R`： -1<=u<=1，-1<=v<=1。且 y y 1 x o x o -1 1 -1
两点说明： 1、若变换T：X=X（u，v），Y=Y（u，v）。在R` 的个别点上有J=0。则结论依然成立。 2、事实上，若 P`（u0，v0） R`。使J(u0,v0)=0。 而在其他点上J=0。则在R`上作面积为 的 小邻域U`（P`, ）。则根据变换T，在XY面上 也得到面积为 的小邻域U（p， ）。