相平面法 邹斌 上海大学 自动化系 地 址:上海市延长路149号 邮政编码：200072 电子邮件: ZouBin@shu.edu.cn 第六章 线性系统的校正方法 相平面法 邹斌 上海大学 自动化系 地 址:上海市延长路149号 邮政编码：200072 电子邮件: ZouBin@shu.edu.cn 电 话: 13122601880

相平面法的基本概念 相平面和相轨迹 相平面： 相轨迹： 由系统变量及其导数（如 ） 构成的用以描述系统状态的平面。 由系统变量及其导数（如 ） 构成的用以描述系统状态的平面。 相轨迹： 系统变量及其导数随时间变化 在相平面上描绘出来的轨迹。 例1 单位反馈系统

相轨迹的性质：相轨迹的斜率 任一个二阶微分方程可写成 相轨迹的斜率

例子 对与一个确定的点，只有一个确定的斜率 一个确定的点，不可能有两个相轨迹相交

只有奇点，不能够确定斜率，这个时候有多条相轨迹交与此点 相轨迹的性质：相轨迹的奇点 只有奇点，不能够确定斜率，这个时候有多条相轨迹交与此点

再谈奇点 非线性系统可能有多个奇点 奇点特性可以用其附近的小信号分析

相轨迹的性质：相轨迹正交于x轴

相轨迹的性质：相轨迹运动的方向 随着时间推移，x增加，相轨迹向右边移动 随着时间推移，x减少，相轨迹向左边移动

性质小结 运动方向 设系统方程为： 顺时针运动 通过横轴时 ，以90°穿越 x轴 奇点 (平衡点) ： 相轨迹上斜率不确定的点 上半平面 — 向右移动 下半平面 — 向左移动 顺时针运动 运动方向 通过横轴时 ，以90°穿越 x轴 奇点 (平衡点) ： 相轨迹上斜率不确定的点 对于线性定常系统，原点是惟一的平衡点。 对于非线性系统，平衡点有多个。

如果能够直接积分得到这个方程的一种曲线表达式子，就可以得到相轨迹！ 绘制相轨迹：解析法 如果能够直接积分得到这个方程的一种曲线表达式子，就可以得到相轨迹！

§7.2 相平面法（13） §7.2.2 绘制相平面的等倾斜线法 等倾斜线 —— 相轨迹斜率为常数的曲线 系统方程 §7.2 相平面法（13） §7.2.2 绘制相平面的等倾斜线法 等倾斜线 —— 相轨迹斜率为常数的曲线 系统方程 例3 系统方程 ，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。 解 等倾斜线方程

§7.2 相平面法（14)

绘制相轨迹：等倾线法 等倾线法 令 所有通过该曲线的相轨迹都有相同的斜率

线性一阶系统相轨迹 一阶系统自由运动的微分方程 相轨迹方程 初始条件： 问题：箭头的方向？ 初始条件不同呢？

线性二阶系统的相轨迹绘制 二阶系统自由运动的微分方程 其特征根 相轨迹方程 选择不同的 ，绘制不同的等倾线，确定初始位置，根据不同的等倾线斜率绘制相轨迹！ 等倾线方程

特殊的等倾线 当 可得到满足 的特殊的等倾线

两个互异的符号相反的特征根

稳定的 节点

二阶线性系统相轨迹 极点分布 奇点 相迹图 极点分布 奇点 相迹图 中心点 鞍 点 稳定的 焦点 不稳定 的焦点 稳定的 节点 不稳定 的节点

再谈奇点 非线性系统可能有多个奇点 （1）在奇点附近线性化； （2）根据线性化系统的特征根确定奇点的性质！ 奇点特性可以用其附近的小信号分析

奇点的定义！ 求的奇点：

特征根决定了其在奇点附近的变化特征，也是奇点类型的表征。 特征方程 特征根决定了其在奇点附近的变化特征，也是奇点类型的表征。

例子

求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。 例 设系统方程为 ， 求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近相轨迹的性质。 解 令 线化 不稳定焦点 特征 方程 鞍点

相平面图上孤立的封闭相轨迹，而其附近的相轨迹都趋向或发散于这个封闭的相轨迹，这样的相轨迹称为极限环。 奇线是相平面图中具有不同性质的相轨迹的分界线（分隔线和极限环） 奇线 相平面图上孤立的封闭相轨迹，而其附近的相轨迹都趋向或发散于这个封闭的相轨迹，这样的相轨迹称为极限环。

极限环 —— 对应二阶非线性系统的周期运动 各类极限环 稳定的极限环 不稳定的极限环 半稳定的极限环

由相轨迹求取时间间隔 增量法 两点的平均变化速度 相轨迹 积分法

圆弧法 如何选择A?

非线性系统的相平面分析 例 系统如右，已知 ，确定开关线方程，奇点 位置和类型，绘制相平面图。 解 线性部分 非线性部分 开关线方程 综合点

区域 运动方程 奇点 特征方程 极点 奇点性质 奇 点 类 型 中心点 中心点 水平线 相轨迹 以 为中心的圆 以 为中心的圆 响应

例 系统如右， ， ，分别讨论系统运动 解 线性部分 非线性部分 比较点 整理 在 I 区： 同理在 II 区： 当 时，开关线为： 例 系统如右， ， ，分别讨论系统运动 解 线性部分 非线性部分 比较点 开关线方程 整理 在 I 区： 抛物线方程 同理在 II 区： 当 时，开关线为：

( I ) ( II ) 系统方程 相轨迹图 开关线

例 系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。 例 系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。 线性部分 解 非线性部分 比较点 整理

§7.2 相平面法（16）

例 系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。 例 系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。 线性部分 解 非线性部分 比较点 整理

§7.2 相平面法（19）

利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统 例 系统方程为 ，分析系统的自由响应。 解 奇点 特征 方程 稳定焦点 极点 鞍点 开关线

例 系统方程为 ，分析系统的自由响应。 解 奇点 特征 方程 极点 开关线 —— 划分不同线性区域的边界线 例 系统方程为 ，分析系统的自由响应。 解 奇点 特征 方程 中心点 极点 中心点 开关线 —— 划分不同线性区域的边界线 平衡线（奇线） —— 不同区域的相轨迹相互影响而产生

§7.2 相平面法 课程小结 §7.2.2 绘制相平面的等倾斜线法 §7.2.3 非线性系统的相平面分析 (1) 相平面和相轨迹 §7.2.1 相平面的基本概念 (1) 相平面和相轨迹 (2) 相轨迹的性质 （运动方向，奇点，奇线，开关线） (3) 线性二阶系统的相轨迹（分析一类非线性系统的自由响应） §7.2.2 绘制相平面的等倾斜线法 §7.2.3 非线性系统的相平面分析