第1章 §1.1 映射与函数 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

一、 函数概念的形成与发展 二、 函数的概念 三、 初等函数 数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了. 恩格斯 一、 函数概念的形成与发展 二、 函数的概念 三、 初等函数

第二章 函数 2017/3/14 一、函数概念的形成与发展 在封建社会里，由于生产力水平不高，人们对数学的需要停留在常量数学范围内，到了16、17世纪，社会多方面的需求需要人们对各种“运动”进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观上的基础。 17世纪末，莱布尼兹首先用了“function”一词．不过，当时这个词是用来表示“幂”、“坐标”以及“切线长”等概念，意义含糊． 1718年，达朗贝尔给函数下的定义是： “所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式”． 好

1748年，欧拉又给出函数的定义： “函数就是一条随意可以描画的曲线”． 第二章 函数 2017/3/14 1748年，欧拉又给出函数的定义： “函数就是一条随意可以描画的曲线”． 19世纪，人们对函数概念的认识飞跃到一个新的阶段，这就是建立了变量与函数之间的对应关系，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分。 上世纪20年代，又产生了新的现代函数定义：“若对集合M的任意元素 ,总有集合N上确定的元素 与之对应，则称在集合M上定义了一个函数，记为 ，元素 称为自变元，元素 称为因变元。” 好

新的函数定义与老的函数定义从形式上看，只相差几个字，如把“数”改为“元素”，讨论的对象 从“数的范围”进入到“一般集合”． 但实质上并非几 字之差，而是概念上的重大发展，是数学发展道路 上的重大转折，近代的“泛函分析”可以作为这种转 折的标志，它研究的是一般集合上的函数关系，根 据近代函数定义，我们可以说，线段的长度是线段 的函数，在这里自变元是线段，因变元是数．至此， 函数的概念就更加一般化了．

二、函数的概念 1.函数的定义 定义1 设x, y是两个变量，X是x的变化范围． Y是y的变化范围，f 是对应法则．若对X中的每个 第二章 函数 二、函数的概念 2017/3/14 1.函数的定义 定义1 设x, y是两个变量，X是x的变化范围． Y是y的变化范围，f 是对应法则．若对X中的每个 x值，依据对应法则f ，Y中有唯一确定的值y与之 对应，则称对应法则f 是定义在X上的函数，记作 或 因变量 自变量 定义域 f(x)是f在x处的函数值，函数值的全体（是Y的一 个子集）称做函数f的值域． 好

1.与初等数学中称因变量y是函数的说法不同,定义中称对应法则f 是函数, 这一方式表明,函数本质是变量之间的对应关系. 第二章 函数 2017/3/14 说明: 1.与初等数学中称因变量y是函数的说法不同,定义中称对应法则f 是函数, 这一方式表明,函数本质是变量之间的对应关系. 2. 定义中,并未规定对应法则f 必须用数学公式来表现, 尽管这是最常用的形式. 依据定义, 还可以采用曲线、表格，甚至文字等各种方式表示对应法则. 3. 定义中, 对法则f 的一个基本要求是,它必须能以确定的方式指定唯一的一个y值与x值对应. 好

如图, 有界函数的图形位于两平行于x轴的两条 2. 函数的几种特性 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 在 I 上有界. 如果这样的M不存在,就称函数 在 I 上无界. 如图, 有界函数的图形位于两平行于x轴的两条 直线 x =+M，x = – M之间. M -M y x o I M -M y x o y=f(x) I 有界 无界

(2) 单调性 当 时, 称 为 I 上的 单调增函数. 称 为 I 上的 单调减函数 . (3) 奇偶性 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 则当 为奇函数时, 必有

(4) 周期性 且 若 则称 为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为  周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常函数 x 为有理数 狄里克雷函数 x 为无理数

三.初等函数 1.复合函数 假设u=φ(x),y=f(u)，那么y是u的函数，而u 又是x的函数， 即变量y经变量u的中转最终是x的 第二章 函数 2017/3/14 三.初等函数 1.复合函数 每毁林 亩 水土流失 面积 亩 直接经济 损失 元 造成 带来 假设u=φ(x),y=f(u)，那么y是u的函数，而u 又是x的函数， 即变量y经变量u的中转最终是x的 函数,我们把类似的实际问题抽象为一个数学概 念— 复合函数. 好

而且当x在g(x)的定义域或定义域的一部分 第二章 函数 2017/3/14 定义2 设y是u的函数y = f (u) ， u是x的函数 u=g(x)， 而且当x在g(x)的定义域或定义域的一部分 取值时， 所对应的u值使y = f (u)有定义， 则称 y = f [g(x)] 是由y = f (u) 和u=g(x) 构成的复合函数 ． 中间变量 例 好

注: 1.不是任何两个函数都可复合成一个 复合函数. 例如, y=arcsinu 和 u=2+x2 就不能复合成一个复 合函数．因为 第二章 函数 2017/3/14 注: 1.不是任何两个函数都可复合成一个 复合函数. 例如, y=arcsinu 和 u=2+x2 就不能复合成一个复 合函数．因为 u=2+x2 的定义域内的任何x 值所对 y=arcsinu 没有意义． 应的u值都使 2.复合函数可以由两个以上的函数复合 而成. 好

函数y=f (x)称为直接函数. y = f (x)和x = f -1(y)互为反函数． 第二章 函数 2017/3/14 2. 反函数 　定义3 设X是严格单调函数y = f (x)的定义域，Y = f (X)是它的 值域．任给y∈Y，由于f (x)严格单调，存在唯一的一个x∈X使 f (x) = y，则x也是y的函数, 称为y=f (x)的反函数, 记为 x = f -1(y)． 函数y=f (x)称为直接函数. y = f (x)和x = f -1(y)互为反函数． 一般地, y = f (x), x∈X 的反函数记为y= f -1(x), x∈Y . 好

直接函数与反函数的图形关于直线y =x对称. 第二章 函数 2017/3/14 直接函数与反函数的图形关于直线y =x对称. 例如, 函数y =ex与y = ln x互为反函数, 它们的 图形关于直线y =x对称. 好

由常数和基本初等函数经有限次的四则运算和 第二章 函数 3.初等函数 2017/3/14 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三 角函数统称为 基本初等函数. 由常数和基本初等函数经有限次的四则运算和 有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函 数,称为初等函数, 否则称为非初等函数. 例如, 是初等函数; 可表示为 故为初等函数. 好

第二章 函数 2017/3/14 4.非初等函数举例 (1) 符号函数 y 1 x o -1 好

(2) 取整函数 y y = [x] [x]表示不超过 x o x 的最大整数 符号函数和取整函数也称为分段函数. -4 -3 -2 -1 第二章 函数 2017/3/14 (2) 取整函数 1 2 3 4 5 x y o -4 -3 -2 -1 y = [x] [x]表示不超过 x 的最大整数 符号函数和取整函数也称为分段函数. 好

内容小结 定义域 对应规律 1. 函数的定义 2. 函数的特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 3. 复合函数,反函数,基本初等函数,初等函数

思考与练习 . 1．微积分学研究的对象是 函数， 研究函数的方法 是 极限法. 有限次 的四则运算和 2．由常数和基本初等函数经 有限次 复合步骤构成并能用 一个式子 表示的函数称为 初等函数. 且 时 其中 3. 设 a, b, c 为常数, 且 证明 为奇函数 . 分析: 先求出函数 .

且 其中 3. 设 时 a, b, c 为常数, 且 证明 为奇函数 . 证 令 则 由 消去 得 为奇函数 .