《高等数学基础》

第一章 函 数 内容导航 前 言 基本初等函数 来自原来函数的新函数 初等函数

第一章 函 数 前 言 微积分是现代数学和许多科学技术的基础和工具。微积分的研究对象是函数，因为函数是数学最基本的概念和数学模型——万事万物都可以用函数来刻划表示，然后微积分研究其规律。 本章将复习函数知识，为微积分的学习打下基础。

1-1 基本初等函数 1-1 基本初等函数 函数基础知识 什么是函数？如果变量x的每一个值都有变量y的唯一一个值与之对应，称y是自变量x的函数，记为y=f(x)，其中f为对应法则、y为函数名。x的变化范围为的定义域（D），相应y的变化范围为的值域（R）。也可以说x是输入量，y是输出量。 函数的表示有表格法、图象法及公式法，这三种表示都同样适用。如经济生中有许多数量关系表格为函数的表格法表示，而如雷达散点图、人的心电图等为函数的图像表示法表示。 值得注意，函数表现事物相互关系的规律，也表达了这样一种思想：通过某一事实的信息去推知另一事实。例如，我们知道了一个圆的半径则可推知它的面积，由一物体的运动性质和运动规律得知它的运动路程。 函数有单调性、奇偶性、周期性和有界性等性质。 基本初等函数 我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数，现将其总结如下： 1-1 基本初等函数

1-1 基本初等函数 函数 a=1 a=2 a=1/2 a=-1 图 像 定义域 (-∞,+∞) [0,+∞) (-∞,0) ∪ (0,+∞) 值 域 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非偶 单调性 单调增 (-∞,0]内递减 [0,+∞)内递增 (-∞,0) 和 (0,+∞)内分别递减

1-1 基本初等函数 1-1 基本初等函数 表1.2 指数函数与对数函数 函 数 y=ax (a>0,a≠１) 表1.2 指数函数与对数函数 1-1 基本初等函数 函 数 y=ax (a>0,a≠１) y=logax (a>0,a≠１) a>1 0<a<1 图 像 定义域 (-∞,+∞) (0,+∞) 值 域 单调性 单调增 单调减

1-1 基本初等函数 1-1 基本初等函数 表1.3 三角函数 函 数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 图 像 表1.3 三角函数 1-1 基本初等函数 函 数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 图 像 定义域 (-∞,+∞) 值 域 [-1,1] 奇偶性 奇函数 偶函数 周期性 T= 单调增 单调减

1-1 基本初等函数 1-1 基本初等函数 表1.4 反三角函数 函数 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx 表1.4 反三角函数 1-1 基本初等函数 函数 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 图 像 定义域 [-1,1] (-∞,+∞) 值 域 单调性 单调增 单调减 f(-x) f(-x)=-f(x)

1-2 来自原来函数的新函数 容易想象，y=-f(x)是将y=f(x)关于x轴反射（翻折） 平移与伸缩 通过平移图像可以产生新函数。 平移与伸缩 　通过平移图像可以产生新函数。 　　例如：函数y=x2+4是把y=x2的图像向上移动4，而 y=(x-2)2是把y=x2的图像向右移动2 .如图所示 容易想象，y=-f(x)是将y=f(x)关于x轴反射（翻折） y y=x2＋4 y y=x2 上移４ 4 x 右移２ y x y=(x-2)2 x 2

1-2 来自原来函数的新函数 函数相加减 例１作函数 的图像(x>0) 解 我们可先画出 的图像，再对 应同个x将x2与x-1相迭加。 取点列表: X 1/4 1/2 1 3/2 2 X2+x-1 65/16 9/4 35/12 9/2 y 9/2 y=x2 35/12 2 y=1/x x 1/2 1 3/2 2

1-2 来自原来函数的新函数 1-2 来自原来函数的新函数 函数的复合 函数与函数的加减乘除可以得到新函数。 此外，将一个u=u(t)替换另一个函数y=f(x)的自变量x则 得到新函数y=f[u(t)]，我们就说y是一个复合函数，或是 一个“函数的函数”，记作: y=f(u(t)) 例如　 说 明：复合函数y=f(u(t))中，f是外层函数，g是内层函数 注意: ①“复合不是加减乘除”！复合是一种新运算； ②复合函数的分解，通常从最外层向内逐层分 解，所得的每个函数大都是基本初等函数。 1-2 来自原来函数的新函数

1-2 来自原来函数的新函数 (1) (2) 解 (1) (2) (1) (2) y=cos u，u=v2，v=tanx (1) (2) 解　(1) (2) 例3　指出下列函数的复合过程： 　　(1) (2)　　　 y=cos u，u=v2，v=tanx 复合过程 分解过程

1-3 初等函数 1-3 初等函数 由基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的复合所构成的函数，称为初等函数。 例如： 例如： 　　　　　　　　　 等都是初等函数． 　　我们常见的函数都是初等函数，微积分主要研究初等函数。 分段函数一般不是初等函数，但绝对值函数除外（如y=|x|）。　　 1-3 初等函数

1-4 数学模型:函数的应用 1-3 初等函数 基本初等函数的应用 幂函数 用一个正方形的面积S来给出其边长a的函数关系，即为分数指数幂： 类似的，表示在一个岛上所发现的物种的平均数与该岛的面积的关系也会有分数指数幂，即若N是物种数量，A是岛的面积，有 （其中其中k是与岛所处的地域有关的常数） 注意：实际中的正比例与反比例关系，都可以用幂函数表示。 1-3 初等函数

1-4 数学模型:函数的应用 三角函数 　三角函数的显著特征是周期性，具有周期性的事物，可考虑用适当的三角函数来刻划。如月圆月缺、交流电、经济规律、人的心脏跳动、血压、人的生理、情绪等都有周期性，都可以运用三角函数。 　例如，某地海平面（海潮）变化规律为： 又如，家庭中的交流电电压的变化规律为： 1-3 初等函数

1-4 数学模型:函数的应用 指数函数 指数函数则只有两种类型：指数增长y=ax(a>1)和指数衰减y=ax(0<a<1)。 许多事物的变化规律是服从指数变化规律，因而指数函数是理解真实世界事物发展过程的基础。 例如：人口按指数增长，经研究发现，每一种指数增长型人口总数都有一个固定的倍增期，当前世界人口的倍增期约为38年。如果你活到76岁，则在你一生中，世界人口预计会增长四倍。 　　又如“知识爆炸”也按指数增长，有科学家提出的增长模型为 　　　。如科学家每50年增长10倍，论文数量10---15年增长一倍等。 1-3 初等函数