解析法 2. 数值法 第三讲 1.偏微分方程求解－－有限元法的原理（加权余量法和变分法） 应用范围有限，适用于理论求解，但有强烈的物理含义（常系数微分方程） 某些复杂问题，很考虑根本找不到解析解 2. 数值法 工程实际中应用广泛，复杂场域问题，但物理含义不很清楚。任何问题总可以找到数值解（数学方法）

2/4 2.数值求解方法 1. 基本思想： 以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。 尝试函数，基函数，形函数 2. 基本方法： 假设一个近似解，该解为一组（形式上）简单函数 的线性组合来表示，线性组合的系数就是一组待定系数 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 和近似解间误差的目标函数 F 用适当的算法使得该目标函数最小化――最小化的过程就确定了待定系数，从而也就得到了问题的近似解。

2/4 2.数值求解方法 目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解； 另一方面，求得构成近似解的待定系数。 数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。

3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法 电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述 两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢量的方程可以分解到各个分量上变为标量方程。

简单函数，一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的了 3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法 加权余量法 在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数 的线性组合表达，表达中有待定系数 即： 问题的自由度 近似解 简单函数，一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的了 待定系数是真正的求解目标

3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法 加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），并设法使其最小的方法。 加权余量法误差（即余数）的定义： 问题的自由度 注意：一般余数并不表示近似解与真解间的代数差（场域内），加权余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解整体接近偏微分方程真解的程度。

3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法 当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加权函数的积分为0。－－“加权余量法”的来由。

3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法 加权余数的定义： 加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法： 即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数

3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法 由此构建加权量法的目标函数： 关于函数的函数，称为：泛函数，或泛函 上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。

3. 加权余量法－－例1 例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：

3. 加权余量法－－例1 理论上任意选取，操作中越简单越好 加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解： 2.结合问题，写出余数表达式：

3. 加权余量法－－例1 2.结合问题，写出余数表达式：

3. 加权余量法－－例1 3. 加权余数表达式：

3. 加权余量法－－例1 3. 加权余数表达式：

3. 加权余量法－－例1 4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解 加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解

真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常是有差别的，如选用三角函数，但求解过程会复杂，可见尝试函数的选取是有技巧的。 3. 加权余量法－－例1 该静态电场问题的真解（解析解：） 真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常是有差别的，如选用三角函数，但求解过程会复杂，可见尝试函数的选取是有技巧的。

4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳 一般化偏微分方程： 线性微分算子 则其余数为： 令加权余数为0，构建代数方程：

4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳 由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形： 有j个代数方程，通常等于待定系数个数

4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳 系数 激励 边界条件 代数方程写成矩阵形式： 矩阵元素值： 系数矩阵n×n 虽然元素值还需要积分、微分的求得，还难以借助计算机求解，但至少化为了代数方程组。 矩阵元素值： 通过选择合适的加权函数和尝试函数可以大大简化矩阵元素的矩阵方程。 有限元方法就是如此

5. 加权余量法的进一步优化（边界条件的处理） 适当的选取加权函数，并对加权余数积分进行处理，可使某些边界条件从加权余数的表达式中消失，从而简化矩阵方程及其系数的求解。 以有源静电场问题为例（帕松方程）

5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 由近似解表述的加权余数为： 注意余数的实质

5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 通过尝试函数，简化加权余数后： 上式第一项，由格林第一定律得： 降了微分阶数，等于降了近似解（尝试函数）的连续性要求，从而扩展了其选择范围

第二类边界条件也消失了，说明已经自动满足了 5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 代入后： 选取特殊加权函数后，两项和为0 由于近似解在1类边界上常数，所以此项为0 第二类边界条件也消失了，说明已经自动满足了

5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 令加权余数为0即可得到求解原微分方程的一组代数方程： 这里加权函数只有一个了，进一步，用迦辽金法，选加权函数为尝试函数本身

5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形： 对比简化前的代数方程：已经大大简化，关键是边界条件项全部消失，微积分计算也降阶、简化

还有积分（求和），梯度（差分），有限元将作处理 对拉普拉斯方程和帕松方程问题适合 5. 加权余量法求解一般化方法的进一步优化 对称矩阵，简化计算 代数方程写成矩阵形式： 还有积分（求和），梯度（差分），有限元将作处理 小结：简化后1、2类边界条件自动满足； （尝试函数、加权函数选取） 微分降阶，简化计算 对称矩阵，简化计算 根据情况源矩阵、边界矩阵可能为0

6. 简化后加权余量法 例2 例1中的静电场问题，变为两电极板接地，中间充满电荷。 帕松方程

通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 6. 简化后加权余量法 例2 加权余量法求解： 1.初选尝试函数、构造近似解： 通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 利用问题，对近似解进行简化，对尝试函数进行优化 由此，尝试函数和近似解优化为：

6. 简化后加权余量法 例2 2. 修正尝试函数，以满足1类边界条件：

6. 简化后加权余量法 例2 3.代公式计算矩阵元素 （边界矩阵b为0）

6. 简化后加权余量法 例2 4. 封装矩阵： 5. 求解矩阵，得近似解：

真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常有差别。如例3 6. 简化后加权余量法 例2 该有源静态电场问题的真解（解析解：） 真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常有差别。如例3

7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3 偏微分方程描述的问题如下： 加权余量法求解： 1.初选尝试函数、构造近似解：

通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3 利用问题及其边界条件，对尝试函数进行优化（使近似解满足边界条件） 通过尝试函数的选取，近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 两个方程，两个独立未知数，消a1、a2，重定尝试函数，边界条件自动满足，简化求解过程

7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3 2. 修正尝试函数，以满足1、2类边界条件： 余数为：

7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3 结合问题，余数的具体表达式为： 问题的加权余数（目标泛函）为：

7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3 4. j=2,3时得代数方程： 5. 求解矩阵，得近似解：

7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3 5. 求解矩阵，得待定系数和近似解：

7. 简化后加权余量法 求解一般化的微分方程 例3 真解（解析解：）

8. 归纳加权余量求解偏微分方程步骤 加权余量法求解流程： 1.初步选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解 3.写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数） 4. 令权余数表达式在各尝试函数下为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解

8. 归纳加权余量求解偏微分方程步骤 加权余数法求解一般性偏微分方程的方法： 方程的近似解被表示为一系列独立的尝试函数的线性组合，其中包括未知的待定系数。 通常用迦辽金原理选取加权函数，（即令加权函数等于尝试函数本身），从而完成对加权余数的定义，(尝试函数的选取满足边界条件) 通过对加权函数在区域内和在边界上的积分使其平均值为零，也就是说，使近似解与精确解之间的差别在某种指标下达到最小化。 如此可以形成一个矩阵形式的代数方程组，求解该矩阵方程可以确定待定系数．从而得到偏微分方程的唯一近似解。

9. 变分法简介 另外一种求解偏微分方程的一般方法，即变分法。 变分法与加权余数法类似，近似解也用一系列线性独立的尝试函数表示．包括未知的待定系数。 与加权余数法不同的是，变分法用另外的方法来形成求解待定系数的矩阵方程。在变分法中，首先要构成一个近似解的函数，称为泛函。从广义来说，加权余数积分(即平均值)也是一种泛函。 然后使该泛函最小化，从而减小近似解的误差。一般说来，要找到一个适合于偏微分方程及边界条件的泛函是一项难度很大的工作。由于前人已做了许多研究工作，已找到了适合于许多常见形式的偏微分方程的泛函。 对于电磁场方程来说，偏微分方程常具有拉普拉斯、帕松和赫姆霍兹等形式。 变分法的思想：另外一种构造目标泛函的方法，由于求解中要求目标泛函最小，变分法将目标泛函的构造与电磁场储能表达式联系起来，（因为电磁场储能物理上讲有趋于最小化的趋势）。通过物理原理来构造的目标泛函是其特点。

9. 变分法简介－－拉普拉斯方程 拉普拉斯类方程描述的无源静电场或静磁场问题，用变分法求解：

尝试函数选择时，仍然要使近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 9. 变分法简介－－拉普拉斯方程 尝试函数选择时，仍然要使近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 拉普拉斯类方程描述的无源静电场或静磁场问题，用变分法求解：

9. 变分法简介—帕松方程 帕松方程描述的有源静电场或静磁场问题， 用变分法求解：

尝试函数选择时，仍然要使近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失 9. 变分法简介—帕松方程 帕松方程描述的有源静电场或静磁场问题，用变分法求解： 尝试函数选择时，仍然要使近似解满足1类边界条件，使得1类边界条件在方程中消失

9. 变分法简介—赫姆霍兹和一般化偏微分方程（省略）

9. 变分法简介—赫姆霍兹和一般化偏微分方程（省略） 泛函适应于二阶线性偏微分方程及狄利克莱和诺伊曼边界条件，亦即适应于一般形式的电磁场问题。由此可以很容易地获得常见微分方程的泛函，例如 拉普拉斯方程、帕松方程、赫姆霍兹方程等等。 泛函数中：k,a,q,h,g都是位置的一般函数，对于简单的问题也可以是常数。这里再次强调，在选取尝试函数相构成近似解时，应该使近似解满足问题的边界条件。