1．4.2 微积分基本定理 ●三维目标 1．知识与技能 (1)了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分； 1．4.2 微积分基本定理 易错易误辨析 教学教法分析 ●三维目标 1．知识与技能 (1)了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分； (2)通过对本节课学习，培养应用微积分思想解决实际问题的能力． 当堂双基达标 课前自主导学 课后知能检测 课堂互动探究 教师备选资源
2．过程与方法 (1)通过自主探究速度与位移的关系及对图象的研究，巩固数形结合的 方法； (2)通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零、以直代曲的思 想． 3．情感、态度与价值观 (1)感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲； (2)通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性； (3)帮助建立微观与宏观的联系桥梁．
●重点难点 重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出微积分基本 定理，以及对微积分基本定理的应用． 难点：了解微积分基本定理的含义．
2．对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)? 【提示】 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数C， 都有[F(x)＋C]′＝F′(x)＋C′＝f(x)．
F(b)－F(a) F(b)－F(a)
【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微 积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分 基本定理求解．
求简单的定积分应注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原 函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
1．分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分 段的标准可按照函数的分段标准进行． 2．当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数 的定积分再计算．
(1)由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如 图1－4－3所示)是( )
(2)求抛物线y2＝2x和直线y＝－x＋4所围成的图形的面积．
【思路探究】 (1)当图形在x轴下方时，图形面积与相应定积分互为 相反数．(2)画出图形，求出两曲线的交点坐标，在交点处，把所求图 形分割为两个规则图形求面积．
【答案】 C (2)画出草图，如图所示．
2．利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画图形． (2)确定积分区间和上、下边界表示的函数解析式： 通过解方程组求出交点的横坐标，从而确定积分区间，观察图形上、 下边界是否是同一函数的图象，确定边界表示的函数解析式．
(3)面积表示：在每一个积分区间上，被积函数是图形上边界与下边界 所表示函数解析式的差，从而写出平面图形的面积的定积分表达式． (4)求面积：求定积分进而得图形的面积．
【答案】 B
求原函数时忽略原函数 是否有意义致误
【错因分析】 积分区间为[－2，－1]，原函数F(x)＝ln x的定义域为 (0，＋∞)，因此无法求解． 【防范措施】 当积分区间使原函数没有意义时，可先根据定积分的 几何意义变形，再求定积分，或改变原函数的表达式求解．
【答案】 B
【答案】 C
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【思路探究】 解答本题可以利用微积分基本定理求出f(a)的表达式， 再求其最大值．
1．熟悉基本初等函数的导数公式是应用微积分基本定理的基础，对 于较复杂的函数式，可以对函数式进行变形，化为基本初等函数后再 求定积分． 2．掌握求函数最值的方法：配方法、基本不等式、导数法等．