教师: 薛留堂 邮箱: xuelt@bnu.edu.cn 办公室: 后主楼1131 大学文科高等数学 教师: 薛留堂 邮箱: xuelt@bnu.edu.cn 办公室: 后主楼1131

关于本课程 教材：《大学文科高等数学》第2版，姚孟臣 编著， 高等教育出版社。 主要内容： 教材的上篇，即基础篇。 第一部分： 初等微积分 初等函数、极限、导数与微分、积分 第二部分： 线性代数简介 矩阵、行列式简介、线性方程组的消元解法 第三部分： 概率统计初步 随机事件的概率、一元正态分布、数理统计基础

关于本课程 最终成绩= 平时成绩*40% + 期末成绩*60% 平时成绩包括每周的作业(7-8次, 每星期一交)、期中考试(或小测验)等; 作业分单双号交, 单号同学与双号同学依次交替交作业, 交的时候两周的作业一起交。 第一次是单号同学交。 答疑时间: 周一晚上9-10节, 教二 308. 助教: 程志雯(18810556615), 张小玥 (18810656689) 课件与其他一些资料可以登录进如下网页下载: http://math0.bnu.edu.cn/~xuelt/course.html

引 言 对于现在和未来的社会科学工作者来说，数学既是 一种强有力的研究工具，也是一种不可或缺的思维方式。 数学在现代文化中扮演着中心角色。 引 言 对于现在和未来的社会科学工作者来说，数学既是 一种强有力的研究工具，也是一种不可或缺的思维方式。 数学在现代文化中扮演着中心角色。 当代文化发展的重要特征之一就是数学化： 数学的方法、思想与精神渗透到社会科学的各个领域。 一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步. ——马克思 要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学. ——恩格斯

语言学与数学 从19世纪中叶起，许多数学家和语言学家运用数学方法来研究语言学问题。 20世纪中叶以来，由于电子计算机的发展，数学渗透到形态学、句法学、 词汇学、语音学、文字学、语义学等语言学的各个分支，进而形成了 “数理语言学”这一新兴学科。 数理语言学：使用概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论、 信息论方法、数学模型方法、模糊数学方法等数学理论和方法来 研究语言现象，并加以定量化和形式化的描述。 统计语言学与信息处理语言学.

数学也是一种十分重要的思维方式和文化精神。 数学追求一种完全确定的、完全可靠的知识。 数学对象必须有明确无误的概念，数学推理必须由明确无误的命题开始， 并服从确定无疑的推理准则，借以达到正确的结论。 贯穿其中的是一种无与伦比的理性精神。 与其他学科相比，数学最突出的特点是它使用了逻辑的方法，即公理方法。 这也为人类文化的其他部门的建立和发展提供了典范。

第一部分 初等微积分 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.

第一章 集合与函数 一、 集合初步 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 第一章 集合与函数 一、 集合初步 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 例: (1) 学校里在校生的全体为一集合; (3) 所有正整数为一集合; 有限集: 集合中元素只有有限个,反之称为无限集. .

集合的两种表示法： (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 正整数集 (2) 描述法： 例: 整数集 一般用 例: 上例中 整数集 或 有理数集

可列集：若集合中的元素可以与自然数集建立一一对应的关系，则称之为可列集。 单元集合: 只含有一个元素的集合. 空集: 不含有任何元素的集合. 全集: 由所研究对象的全体构成的集合. 可列集：若集合中的元素可以与自然数集建立一一对应的关系，则称之为可列集。 这是一种特殊的无限集合。 称有限个与可列个统称为至多可列个（或至多可数个）。

A是 B 的子集合 (简称子集), 或称 A包含于 B,或 B包含A 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 若 必有 则称 A是 B 的子集合 (简称子集), 或称 A包含于 B,或 B包含A 若 且 则称 A 与 B 相等, 记作 显然有:  (包含关系具有传递性)

定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算: 并集 或 交集 且 差集 且

二、 实数集 万物皆数. 有理数集 在数轴上，每一个有理数都可以用一个点来表示, 称这样的点为有理点。 二、 实数集 万物皆数. ——毕达哥拉斯(Pythagoras) 有理数集 在数轴上，每一个有理数都可以用一个点来表示, 称这样的点为有理点。 有理数集Q除了可在其中定义四则运算外，还具有 有序性(即有理点在数轴上是从左向右按大小次序排列的) 和稠密性(即任意两个有理点之间有无穷多个有理点). 有理点并没有充满整个实轴. 在数轴上除了有理点之外的空隙处的点称之为无理点.

有理数与无理数统称为实数. 此外, 还具有连续性(即实数点充满了整个数轴). 实数与数轴上的点一一对应, 故实数与点不加区分. 开区间 闭区间 有限区间 (数轴上的线段) 半开半闭区间

无限区间 注意: 点a的  邻域 空心  邻域 其中, a 称为邻域中心 ,  称为邻域半径 . a的左  邻域 : 右  邻域 : 空心左  邻域 : 空心右  邻域 :

两个逻辑记号: “任意给”或“每一个” “存在”或“可找到” 命题（或条件）A与B等价，

三、函数 1. 函数的概念 函数是微积分学研究的对象. “函数(function)”最早由莱布尼茨(Leibniz)首先引入, 经由欧拉(Euler)等人不断修改、扩充而得到较完整的函数概念。 函数概念的直观描述： x的取值范围叫做函数的定义域. y的值叫函数值, 其集合为函数的值域.

定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; 称为 f 的 值域 . Y 的子集 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.

定义5. 设数集 则称映射 为定义在 X 上的函数 , 记为 定义域 因变量 自变量 称为函数f的值域 函数图形:

(定义域) (对应规则) (值域) 定义域 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时须写出定义域；

函数的表示方法: 解析法 、图示法 、列表法 (便于计算与分析) (直观清晰) (便于求值) 例如, 绝对值函数 定义域 值 域

有些函数，对于其定义域内自变量不同的值， 不能用一个统一的解析式表示，而要用两个或 两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数. 又如:符号函数 1 -1 x y o 注意: 分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数.

2. 建立函数关系 为解决实际问题, 需要先确定问题中的自变量和因变量 及相互间的依赖关系(即函数关系), 并将这种关系表示 出来, 在利用适当的数学方法加以分析解决. 例4. 要造一个底面为正方形、容积为500m³的长方体 无盖蓄水池，设水池四壁与底面每平方米造价均为a元, 试将蓄水池的造价y(单位:元)表示为底边长x(单位:m)的 函数. 并求出当x为多少m时总造价最低.

例5. 某快餐联营公司在某地开设了40个营业点. 每个 营业点每天的平均营业额是10 000 元. 对该地区是否 开设新营业点的研究表明, 每开设一个新营业点会使 每个营业点的平均营业额减少 200 元, 试求该公司所有营业点的每日总收入R(单位: 元) 和新开设营业点数目x(单位: 个)之间的函数关系. 并问: 当新开设营业点数目x为几个时所有营业点的 每日总收入最高? (答: 5个, R最大为405 000 元) 若 y=ax+b, 其中 a,b是实数, 则称y与x成线性函数关系.

三、 函数的几种性质 (1) 有界性 有界的. 有界函数的界不是唯一的. 有界函数的图形介于直线y=-M与y=M之间. 研究函数需要了解它所具有的性质, 从而掌握它的变化规律. (1) 有界性 有界的. 有界. 无界; 有界. 有界函数的界不是唯一的. 有界函数的图形介于直线y=-M与y=M之间.

(2) 单调性 称 为 I 上的 递增函数 ; 称 为 I 上的 递减函数 . 称 为 I 上的 不减(非减)函数 ; 称 为 I 上的 不增(非增)函数 . 递减, 递增. 单调增函数与单调减函数统称为单调函数。

对于一个具体的函数, 若能做出它的图形, 可通过图像来直观地判断它的递增递减性.

(3) 奇偶性 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 则当 为奇函数时, 必有 例: 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 注: 奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称.

(4) 周期性 定义: 则称 为周期函数 , 可见 都是它的周期. 若在无穷多个周期中, 存在最小的正数 则称 的最小周期, 简称周期. 如 是R上的周期函数; 而 注:常值函数 任意的正数都是周期 , 故最小周期不存在. d

四. 反函数与复合函数 (1) 反函数的概念及性质 在函数关系中, 自变量与因变量是相对而言的. 定义

习惯上, 故 的反函数记成 重要性质: 例: 求函数 的反函数. 解: 由 知 故原函数的反函数为

若 y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 且也单调递增 (减) . 例: e

y 1 o -1 反正弦函数, 反正切函数,

(2) 复合函数 引例: 定义: 设有函数链 ① ② 则 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少.

例如, 可定义复合函数 当改 时, 虽不能在自然域 下构成复合函数, 但可定义复合函数 注: 两个以上函数也可构成复合函数. 例:

注:

五、初等函数 1、基本初等函数 以上六类函数称为基本初等函数. a

(1)幂函数

(2).指数函数 单调函数; 过(0,1)点

(3).对数函数 单调函数; 过(1,0)点

(4). 三角函数 y 1 o -1 奇函数; 关于原点对称; 周期为2π. f

(4). 三角函数 y 1 o -1 偶函数; 关于y轴对称; 周期为2π.

(4). 三角函数 奇函数; 关于原点对称; 周期为π. c

(4). 三角函数 偶函数; 关于y轴对称; 周期为π. c

(5). 反三角函数 奇函数 (关于原点对称); g

(5). 反三角函数

(5). 反三角函数 奇函数 (关于原点对称).

(5). 反三角函数

2、初等函数 定义: 由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数. 例： 多项式函数 有理函数 都是初等函数. b

内容小结 1. 集合的概念 定义域 对应规律 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的性质 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构

作业1-2 习题1.1 P27-8 1 (2) (4); 4; 5. (1) (3) (5) (6); 6. (1) (3); 作业1-2 习题1.1 P27-8 1 (2) (4); 4; 5. (1) (3) (5) (6); 6. (1) (3); 11. 12. 2. 9. 10.