《电磁场与电磁波》

绪 论 一、本课程的性质 二、本课程与其他相关课程的关系 三、考核方式 四、课程内容 电磁场与电磁波

场 广义而言，如果在空间中一个区域内的每一个点都有一个物理量的确定值与之对应，则在该区域中就构成了该物理量的场。 静态场 标量场 场 时变场 矢量场

五、相关应用 1.雷达

2.移动通信

第1章 矢量分析 1.1 三种常用的坐标系 1.2 矢量表示法与矢量函数的微积分 1.3 标量函数的梯度 1.4 矢量函数的散度 第1章 矢量分析 1.1 三种常用的坐标系 1.2 矢量表示法与矢量函数的微积分 1.3 标量函数的梯度 1.4 矢量函数的散度 1.5 矢量函数的旋度 1.6场函数的微分算子和恒等式 1.8 格林（Green）定理和亥姆霍兹(Helmholtz)定理

1.1 三种常用的坐标系 一、构成 （一）直角坐标系（Cartesian Coordinates） 右手系 单位坐标矢量： x y z o x1 y1 z1 M (x1,y1, z1) 图1-1 直角坐标系 单位坐标矢量：

坐标面 矢量表示： 线元、面元、体积元

（二）柱坐标系（Cylindrical Coordinates） 坐标面 矢量表示： 线元、面元、体积元

（三）球坐标系（Spherical Coordinates） 坐标面 矢量表示： 线元、面元、体积元 注意参量的变化范围!

二、转换关系（简单阐述，作为工具用） （一）标量转换关系 直角坐标 柱坐标

直角坐标 球坐标

柱坐标 球坐标

（二）单位矢量转换关系 用于柱坐标转化为直角坐标 用于直角坐标转化为柱坐标

两组坐标下单位矢量的相互转换矩阵为正交阵！

【例1-1】 如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为， 【例1-1】 如果有一矢量在柱坐标系下的表达式为， 试求出它在直角坐标系下的各分量大小。 【解】 利用转换公式，容易得到 Matrix form

【例1-3】试判断下列矢量场是否是均匀矢量场： (1) 柱坐标系中 ，其中 都是常数 (2) 在球坐标系中 ，其中 是常数 (1) 柱坐标系中 ，其中 都是常数 (2) 在球坐标系中 ，其中 是常数 【解】（1）均匀矢量场的定义是：在场中所有点上，模处处相等， 方向彼此平行。只要这两个条件中有一个不符合就称为非均匀矢量场。 与y 轴的夹角

（2） 时， 的方向是沿z轴的 时，则 没有z轴分量 非均匀场

1.2矢量表示法与矢量函数的微积分 一、矢量表示法 （一）直角坐标系 方向余弦

表示：与任一矢量 同方向的单位矢量在本书中规 定用 表示。 （二）单位矢量 定义：模等于1的矢量 表示：与任一矢量 同方向的单位矢量在本书中规 定用 表示。

（三）位置矢量 定义：以坐标原点 为起点，引向空间任一点 的矢量 ，称为点 的矢径

（四）空间任意矢量

（五）矢量线元

二、矢量运算（代数运算、微积分运算） （一）矢量代数运算 对象： 1.矢量的和差 2.标量积

3.矢量积 行列式形式 记忆！！！

4.混合积 （1）标量三重积

（2）矢量三重积 上式右边为“BAC－CAB”，称为“Back－Cab”法则

三、矢量函数的微积分 （一）矢量函数的概念 常矢：模和方向都保持不变的矢量称为常矢。 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量称为变矢。 矢量函数：表示物理量的矢量一般都是一个或几个 （标量）变量的函数，叫矢量函数。例如，静电场中的电场强度矢量，它的三个坐标分量一般也是x,y,z的函数，即

（二）矢量函数的导数 （1） 矢量对空间坐标的导数设是单变量的矢量函数，它对u的导数定义是 单变量函数 多变量函数

偏导连续 高阶导数： 性质： 直角坐标 具体实例： 为常矢量 结论：只要把坐标单位矢量提到微分号外就可以了！

柱坐标

球坐标

各种坐标系中的坐标单位矢量不随时间变化，矢量函数对求偏导数时，都可以把它们作为常矢量提到偏微分符号之外 （2）矢量函数对时间的导数 时变电场强度 各种坐标系中的坐标单位矢量不随时间变化，矢量函数对求偏导数时，都可以把它们作为常矢量提到偏微分符号之外

（三）矢量函数的积分 矢量函数的积分，包括不定积分和定积分两种。例如，已知B(t)是A(t)的一个原函数，则有不定积分 由于矢量函数的积分和一般函数的积分在形式上类似，所以，一般函数积分的基本法则对矢量函数积分也都适用。但是，在柱坐标系和球坐标系中求矢量函数的积分时，仍然要注意式（1-51）和（1-52）中的关系，不能在如何情况下都将坐标单位矢量提到积分运算符号之外。

1.3 标量函数的梯度 一、标量场的等值面 在直角坐标系中，某一物理标量函数u可表示为 u的等值面 ： 随着C的取值不同，给出一组曲面

三维等值面互不相交 二维等值线也是互不相交的

【例】 设点电荷位于直角坐标系的原点，在它周围空间的任一点的电位是 式中 和 是常数。试求等电位面方程。 【解】 令 （ C常数）即得到等电位面方程 或

二、方向导数 目的：在研究标量场u时，需要了解标量函数在场中各个点地邻域内沿每一方向的变化情况。 定义：

其中参量定义描述：

详细推导： 两边同除 ，并令 推广至任意点

向量表示法 意义 ，说明函数 沿 方向是增加的； ，说明函数 沿 方向是减小的； ，说明函数 沿 方向无变化。

【例】 求函数 在点 沿 方向的 方向导数。 【解】 在点 有

三、梯度(Gradient) （一）梯度的定义 u(x,y,z)沿G方向变化率最大 矢量G的模也正好就是该最大变化率。

(二)梯度的性质 一个标量函数（标量场）的梯度是一个矢量函数。在给定点，梯度的方向就是函数变化率最大的方向，它的模恰好等于函数在该点的最大变化率的数值。又因函数沿梯度方向的方向导数 梯度总是指向函数增大的方向。 函数在给定沿任意方向的方向导数等于函数的梯度在该方向上的投影

在任一点，标量场的梯度垂直于过该点的等值面，也就是垂直于过点的等值面的切平面。根据解析几何知识，过等值面点切平面的法线矢量是 记忆！！

称为哈密顿算子。 读作“del（德尔）”或 “nabla（那勃拉）” （三）哈密顿（Hamilton）算子 引入一个算子 称为哈密顿算子。 读作“del（德尔）”或 “nabla（那勃拉）” 直角坐标下的具体实例

(四) 梯度运算基本公式 （C为常数） （C为常数） 结论：与对一般函数求导数的法则类似。

【例1-6】 试证明： 其中

【解】

1.4 矢量函数的散度 一、矢量场的矢量线 矢量场，可以用一个矢量函数来表示 矢量线方程 ：

三维： 二维：

【例】设点电荷位于坐标原点，它在周围空间的任一 点所产生的电场强度矢量 求 的矢量方程的通解。 【解】

矢量 方程 电力线是一簇从点电荷所在点（原点）向空间发散的径向辐射线

二、通量 通量： 矢量 F 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 F 通过该有向曲 面 S 的通量，以标量  表示，即 S M 矢量场通量

如果是限定一定体积的闭合面，则通过闭合面的总通量可表示为 当 时，穿出闭合面的通量线多于穿入的通量线，这时内必有发出通量线的源，我们称它为正源。 当 时，穿入多于穿出，这时内必有吸收通量线的沟，为对称起见，我们称它为负源。 当 时，穿出等于穿入，这时内正源与负源的代数和为零，或者内没有源。

<0 S内有收集通量的沟- 负源 =0 S内无通量源 >0 S内有发出通量的源- 正源 通量的迭加性：

由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数  0 之比，即， 可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。

三、散度 定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 F 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 F 在该点的散度，以 div F 表示，即 式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围该点的单位体积的闭合面的通量。

 图 1-17 曲面积分与体积分关系示意图

直角坐标系中散度可表示为 复习梯度

四、高斯定理 或写为 从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。

【例】点电荷位于坐标原点，在离其 处产生的电通量密度为 求任意点处电通量密度的散度，并求穿出以r为半径的球面的电通量。 【解】

同理可得 可见，除点电荷所在源点外，空间各点得电通量密度 散度均为0。 这证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷。

1.5 矢量函数的旋度 一、环量(Circulation) 定义：矢量场 F 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 F沿该曲 线的环量，以  表示，即 可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 F 的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量  > 0；若处处相反，则  < 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。

由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率  0 的乘积。即 式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。

二、旋度(Curl or Rotation) 定义：旋度是一个矢量。若以符号 rot F 表示矢量 F 的旋度，则其方向是使矢量 F 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即 en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。

图 曲面积分与线积分关系示意图

直角坐标系中旋度可用矩阵表示为 或用算符  表示为

梯度： 小 结 散度： 旋度： 应该注意，无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定义的梯度、散度或旋度。

旋度与散度的区别 一个矢量场的旋度是一个矢量函数；一个矢量场的散度是一个标量函数。 旋度表示两场中各点的场与漩涡源的关系。如果在矢量场所存在的全部空间里，场的旋度处处等于零，则这种场不可能有漩涡源，称为无旋场或保守场。散度表示场中各点的场与通量源的关系。如果在矢量场所充满的空间里，场的散度处处为零，则场不可能有通量源，称为管形场或无源场。静电场是无旋场，而磁场是管形场。 旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。

三、斯托克斯定理 (Stokes) 或写为 同高斯定理类似，从数学角度可以认为斯托克斯定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。

四、 无散场和无旋场 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 两个重要公式： 左式表明，任一矢量场 F 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。 右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。

1.8 格林（Green）定理和亥姆霍兹(Helmholtz)定理 一、格林定理 设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，如下图示。 那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式 S V , 式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量场  在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。

根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成 上两式称为标量第一格林定理。 基于上式还可获得下列两式： 上两式称为标量第二格林定理。

设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式 式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。 基于上式还可获得下式： 此式称为矢量第二格林定理。

无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。 格林定理广泛地用于电磁理论。

二、矢量场的唯一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。

三、亥姆霍兹定理 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域 V  中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为 式中 可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。