复习 - 对坐标的曲线积分 1. 定义 2. 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! L－ 表示 L 的反向弧

3. 计算 • 对有向光滑弧 • 对有向光滑弧

• 对空间有向光滑弧 : 4. 两类曲线积分的联系

第三节 格林公式及其应用 一、格林公式 二、格林公式的简单应用 三、平面上曲线积分与路径无关的条件 *四、全微分方程

设 D 为平面区域, 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于D , 则称 D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 区域的分类 设 D 为平面区域, 如果 D 内任一闭曲线所围成的部分都属于D , 则称 D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. D D 复连通区域 (有洞区域) 单连通区域 (无洞区域) 区域 D 的边界 L 的正向:当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边.

一、 格林公式 函数 定理1. 设区域 D 是由分段光滑的曲线 L 围成, 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有 或 ( 格林公式 ) 或 其中 为 的取正向的边界曲线.

组成 连成

证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , y E d D B A c C x o a b 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容.

y x o C E A B c d D a b ① 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 同理可证 ② ① ②

2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将区域 分割为有限个上述形式的区域 证毕 边界) 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 边界) 证毕

运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容.

若 均取正向， 则

二、Green公式的简单应用 1. 简化曲线积分和二重积分 例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 则 证: 令 利用格林公式 , 得

例2. 计算 , 其中曲线AB是半径为 r 的圆在 第一象限部分. x y O A B 解: 引入辅助曲线L,  L 应用格林公式, 有

例3. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 则当 时， 设 L 所围区域为D, 当 时, 由格林公式知

当 时， 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用 格林公式 , 记 L 和 所围的区域为

例4. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有

2. 计算平面图形的面积 格林公式 取 得 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积： 取 得 取 得 2. 计算平面图形的面积 格林公式 取 得 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积： 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 取 得 取 得

例5. 计算椭圆 的面积 y 解: x O 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容.

例6. 计算抛物线 与x轴所围的面积. 解: 为直线 曲线AMO由函数 表示,

三、平面上曲线积分与路径无关的条件 如果对区域 D 内任意两条 起、终点相同的曲线 D B A 有 则称曲线积分 在D内与路径无关, 否则称积分与路径有关.

定理2. 设D 是单连通域 , 函数 在D 内 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 (4) 在 D 内每一点都有

为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 证明 (1)  (2) 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, (根据 (1)) 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 与路径无关, 只与起止点有关. 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为

证明 (2)  (3) 因曲线积分 与路径无关, 在D内取定点 和任一点B( x, y ), 有函数 则 同理可证 因此有 证明 (2)  (3) 因曲线积分 与路径无关, 在D内取定点 和任一点B( x, y ), 有函数 则 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) 与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 同理可证 因此有

证明 (3)  (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 (3) 证明 (3)  (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. (4) 在 D 内每一点都有 (3) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 从而在D内每一点都有

证明 (4)  (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 所围区域为 利用格林公式 , 得 证毕 (4) 在 D 内每一点都有 证明 (4)  (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 所围区域为 利用格林公式 , 得 证毕 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (4) 在 D 内每一点都有

3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 说明: 则 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 则原函数为 及动点 取定点 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 或

注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4). 4) 若已知 d u = P dx + Q dy , 则对D内任一分段光滑 曲线 AB ,有 注: 此式称为曲线积分的基本公式(P213定理4). 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 它类似于微积分基本公式: 则

例7. 计算 其中L 为 上半圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 与L 所围区域为D , 添加辅助线段 则

例8. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 得

例9. 验证 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原 函数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数

或

例10. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.

取圆弧 思考: 积分路径是否可以取 为什么？ 注意: 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 !

*四、全微分方程 则称 ③ 为全微分方程. 判别: P, Q 在某单连通域 D内有连续一阶偏导数 则③为全微分方程 求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 du = 0 知通解为 u (x, y) = C .

例11. 求解 因为 解: 故这是全微分方程. 法1 则有 因此方程的通解为

法2 此全微分方程的通解为 则有 ④ ⑤ 由④得 两边对 y 求导得 与⑤比较得 因此方程的通解为

例12. 求解 解: 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 或 故原方程的通解为

思考: 如何解方程 但若在方程两边同乘 这不是一个全微分方程 , 可以化成例 11 的方程 . 注:若存在连续可微函数 使得 为全微分方程, 则称 为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.

内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 在 D 内与路径无关. 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 在 D 内有 为全微分方程

思考与练习 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ?

2. 设 提示:

备用题 1. 设 C 为沿 从点 依逆时针 到点 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . I =

2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 在此过程中受力 F 作用, F 的大小等于点 M 到原点的距离, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 锐角, 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) 解: 由图知 故所求功为

3. 已知曲线积分 与 路径无关, 其中 求由 确定的隐函数 解: 因积分与路径无关 , 故有 即 因此有

作 业 P213. 2(1), 3, 4(3), 5(1,4), 6(2,5) 8(4), 9 提交时间：2012年5月2日上午10:00